Pulse solutions to a class of symmetrisable hyperbolic systems with applications to nonlinear wave equations

Abstract

In this thesis we present an existence theory for pulse solutions to a wide class of reversible, analytic, hyperbolic evolutionary equations. Combining methods from the theory of (infinite-dimensional) dynamical systems (in particular normal forms and invariant manifolds) and symmetrisable, quasilinear hyperbolic systems, we construct symmetric generalised pulse solutions which exist on intervals whose length is exponentially large compared to the magnitude of the pulse. In the special case where the underlying system is semilinear and admits a suitable conserved quantity, the regime of existence extends to the entire real line. As an application of our theory we discuss how a wide class of quadratic, quasilinear Klein-Gordon equations fits into our framework.

In dieser Arbeit präsentieren wir eine Existenztheorie für Puls Lösungen zu einer Klasse reversibler, analytischer, hyperbolischer Evolutionsgleichungen. Durch die Kombination von Methoden aus der Theorie (unendlichdimensionaler) dynamischer Systeme (insbesondere Normalformen und invarianter Mannigfaltigkeiten) mit solchen aus der Theorie symmetrisierbarer, quasilinearer hyperbolischer Systeme konstruieren wir symmetrische verallgemeinerte Pulslösungen, die auf Intervallen existieren, deren Länge exponentiell groß im Vergleich zur Amplitude des Pulses ist. In dem Spezialfall, dass das zugrundeliegende System semilinear ist und eine geeignete Erhaltungsgröße hat, erstreckt sich der Existenzbereich auf die gesamte reelle Achse. Als Anwendung unserer Theorie diskutieren wir, wie sich eine breite Klasse quadratischer, quasilinearer Klein-Gordon-Gleichungen in die obige Struktur passt.