Data-driven enhanced methods in terahertz tomography including a partially learned Landweber iteration

Abstract

The inverse problem of terahertz tomography is modeled using the eikonal equation as a high-frequency approximation of the Helmholtz equation. The primary goal is to reconstruct the refractive index n(x) from time-of-flight measurements including the Landweber iteration. Applying Landweber's method requires solving a non-linear partial differential equation for the forward operator for each initial condition in every step. It also involves computing the adjoint operator of the linearization. To enhance computational efficiency, a convolutional neural network (CNN) replaces the forward operator, significantly accelerating the solution of the eikonal equation. The CNN is trained on synthetic data and incorporates $l_1$-regularization for sparsity in a further step. Numerical comparisons highlight the efficiency in terms of time and energy consumption of these approaches over standard methods. Additionally, a data-driven, density-based anomaly detection algorithm is developed for inline monitoring.

Wir betrachten das inverse Problem der Terahertz-Tomographie, einer bildgebenden Technik zur überwachung von Kunststoffen und Keramiken. Das zugrundeliegende mathematische Problem ist mit den Maxwell Gleichungen und deren Vereinfachungen verbunden. Ausgehend von der nichtlinearen Eikonalgleichung als physikalisches Modell gehen wir diese Herausforderung mit Hilfe der Landweber-Iteration unter Berücksichtigung der Theorie der inversen Probleme an. Die Eikonalgleichung ist eine hochfrequente Annäherung an die Helmholtz Gleichung und, allgemeiner, an die Wellengleichung. Die primäre Aufgabe besteht darin, den Brechungsindex, bezeichnet als n(x), aus Laufzeitmessungen abzuleiten. In einem zweiten Schritt führen wir neuronale Netze in der Landweber-Iteration zur Rekonstruktion des Brechungsindex n(x) ein. Bei der Anwendung der Landweber- Methode müssen wir die nichtlineare partielle Differentialgleichung für den Vorwärtsoperator in jedem Schritt lösen, aber auch den adjungierten Operator der Linearisierung berechnen. Um die Rechenzeit im Rekonstruktionsprozess zu reduzieren, ersetzen wir den Vorwärtsoperator F durch ein Convolutional Neural Network. Unter Verwendung synthetischer Trainingsdaten, die aus dem Brechungsindex als Input und simulierten Messdaten als Output bestehen, beschleunigen wir die Auswertung des Vorwärtsoperators, d.h. die Lösung der Eikonalgleichung, im Vergleich zu Standardtechniken wie Marschschemata erheblich. Außerdem sparen wir im Lernprozess unseres Netzes Energie, indem wir einen sparsen Vorwärtsoperator erzeugen. Wir fügen dem Kostenfunktional des Convolutional Neural Network einen ℓ1-Regularisierungsterm hinzu. Anschließend vergleichen wir die Standard- Landweber-Methode mit der teilweise gelernten und der sparsen Alternative und stellen numerische Ergebnisse vor. Desweiteren entwickeln und implementieren wir einen datengesteuerten Algorithmus zur Erkennung von Anomalien für die Inline-überwachung mit besonderem Schwerpunkt auf Kunststoffen. Wir schlagen einen dichtebasierten Ansatz vor, um automatisch Anomalien in den Messdaten der Strahlung zu erkennen. Wir liefern numerische Ergebnisse, um unsere Erkenntnisse zu untermauern. Die realen Messwerte werden vom Deutschen Kunststoffzentrum in Würzburg zur Verfügung gestellt.