Multipliers of unitarily invariant spaces and K-contractions

Abstract

Let H be a unitarily invariant regular reproducing kernel Hilbert space consisting of holomorphic functions on the open unit ball in C^d. The aim of the present thesis is to understand certain elements in the multiplier algebra Mult(H) and to investigate how known results for pure contractions on Hilbert spaces can be transferred to the theory of tuples of commuting operators. The work essentially consists of three parts: The first part deals with transfer realizations for K-inner functions, similar to the characteristic functions of pure contractions as introduced by Sz.-Nagy and Foias. K-inner functions are a generalization of Bergman-inner functions and of inner functions on the Hardy space. The results shown generalize ideas of Olofsson and Eschmeier. This part is a joint work with Jörg Eschmeier. The second part contains a uniqueness statement for multiplier functional calculi. It generalizes a uniqueness statement about the H^∞(D)-functional calculus of pure contractions by Miller, Olin, and Thomson for certain tuples of commuting operators. As in the case of pure contractions, we show that the obvious polynomial functional calculus can only be uniquely extended to the corresponding multiplier algebra. This part is a joint work with Michael Hartz. For the regular unitarily invariant spaces to be studied, the polynomials are contained in the multiplier algebra Mult(H). The elements in Mult(H) are in H , bounded and holomorphic, that is in H^∞(B_d) ∩H . In the last part, we study elements in the normclosure of polynomials A(H) ⊂ Mult(H). Many regular unitarily invariant spaces can be described as radially weighted Besov spaces B_ω^s with an equivalent norm. One advantage is that multiplier functions can be characterized with the help of Carleson measures. A version of this characterization can be found in a paper by Aleman, Hartz, McCarthy and Richter. Using vanishing Carleson measures, we establish necessary and sufficient conditions for elements to be in the normclosure of polynomials A(B_ω^s) ⊂ Mult(B_ω^s). This part is a joint work with Michael Hartz. Finally, we show that Mult(H ) ⊊ H^∞(B_d) ∩H if and only if A(H) ⊊ A(B_d) ∩ Mult(H). Here A(B_d) is the ball algebra, the set of all holomorphic functions that can be continuously extended to the boundary. The results are motivated by a paper by Fang and Xia on essentially hyponormal multiplication operators on the Drury-Arveson space. The chapter also contains a short proof of the one-function corona theorem for many Banach function spaces.

Sei H ein unitär invarianter regulärer funktionaler Hilbertraum bestehend aus holomorphen Funktionen auf der offenen Einheitskugel in C^d. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Elementen in der Multiplikatoralgebra Mult(H) und untersucht, wie man bekannte Resultate für reine Kontraktionen auf Hilberträumen auf die Theorie von Tupeln vertauschender Operatoren übertragen kann. Die Arbeit besteht im Wesentlichen aus drei Teilen: Der erste Teil beschäftigt sich mit Transferdarstellungen für K-innere Funktionen. Diese ähnelt der Darstellung für charakteristische Funktionen reiner Kontraktionen, wie sie Sz.-Nagy and Foias, eingeführt wurde. K- innere Funktionen sind eine Verallgemeinerung von Bergman-Inneren Funktionen und von inneren Funktionen auf dem Hardy Raum. Die gezeigten Resultate verallgemeinern Ideen von Olofsson und Eschmeier. Dieser Teil ist eine gemeinsame Arbeit mit Jörg Eschmeier. Der zweite Teil enthält eine Eindeutigkeitsaussage für Multiplikator- Funktionalkalküle. Er verallgemeinert eine Eindeutigkeitsaussage über den H^∞(D)-Funktionalkalkül reiner Kontraktionen von Miller, Olin und Thomson für bestimmte Tupel von vertauschenden Operatoren. Wie im Falle reiner Kontraktionen zeigen wir, dass sich der offensichtliche polynomielle Funktionalkalkül nur eindeutig auf die entsprechende Multiplikatoralgebra fortsetzen lässt. Dieser Teil ist eine gemeinsame Arbeit mit Michael Hartz. Für die untersuchten regulären unitär invarianten Räume sind die Polynome in der Multiplikatoralgebra Mult(H ) enthalten. Die Elemente in Mult(H) sind in H , beschränkt und holomorph, das heißt in H^∞(B_d) ∩H . Im letzten Teil studieren wir Elemente im Normabschluss der Polynome A(H) ⊂ Mult(H). Viele reguläre unitär invariante Räume lassen sich als radial gewichtete Besov Räume B_ω^s mit äquivalenter Norm darstellen. Ein Vorteil ist, dass sich Multiplikatorfunktionen mit der Hilfe von Carleson-Maßen charakterisieren lassen. Eine Version dieser Charakterisierung findet sich in einer Arbeit von Aleman, Hartz, McCarthy und Richter. Unter Verwendung verschwindender Carleson-Maße stellen wir notwendige und hinreichende Bedingungen dafür auf, dass Elemente im Normabschluss der Polynome A(B_ω^s)⊂Mult(B_ω^s) liegen. Dieser Teil ist eine gemeinsame Arbeit mit Michael Hartz. Zum Schluss zeigen wir, dass Mult(H) ⊊ H^∞(B_d)∩H genau dann, wenn A(H) ⊊A(B_d)∩Mult(H). Dabei bezeichne A(B_d) die Ball-Algebra, das heißt die Menge aller holomorphen Funktionen, die sich stetig auf den Rand fortsetzen lassen. Die Ergebnisse sind durch ein Paper von Fang und Xia über wesentlich hyponormale Multiplikationsoperatoren auf dem Drury-Arveson Raum motiviert. Das Kapitel enthält auch einen kurzen Beweis für das Einfunktions-Corona Theorem für viele Banachfunktionenräume.