Isometric maps between Outer Spaces

Abstract

In this thesis we study the geometry of Culler-Vogtmann Outer Space CV_n with regard to the Lipschitz metric. We prove that the theorem of Francaviglia and Martino about the isometry group of Outer Space also holds for reduced Outer Space, that is any isometry of reduced Outer Space comes from the Out(F_n )-action on Outer Space. For this purpose we introduce envelopes in CV_n and use them to show how to construct a piecewise rigid geodesic between two points and all rigid geodesics emanating from a given point. Another application of these envelopes is the construction of a local geodesic which passes through any given sequence of points. Furthermore, we introduce two families of isometric embeddings between Outer Spaces of different rank, which we call naive embeddings and natural embeddings. We show that natural embeddings from CV_n to CV_k exhibit some kind of rigidity for n > 2 while natural embeddings from CV_2 to CV_k can be deformed into other isometric embeddings.

In dieser Dissertation untersuchen wir die Geometrie von Culler{Vogtmann Outer Space CVn bezüglich der Lipschitz-Metrik. Francaviglia und Martino zeigten in [FM12b], dass jede Isometrie von CVn bereits von der Out(Fn)-Aktion kommt. Wir zeigen, dass dies auch für den reduzierten Outer Space gilt. Hierfür führen wir Einhüllende in CVn ein und zeigen wie wir mit diesen eine stückweise starre Geodätische zwischen zwei Punkten konstruieren und alle starren Geodätischen die von einem Punkt ausgehen berechnen können. Als weitere Anwendung der Einhüllenden geben wir eine Konstruktion für eine lokal Geodätische an, die durch eine beliebige zuvor gegebene Folge von Punkten geht. Weiterhin führen wir zwei Familien von isometrischen Einbettung zwischen Outer Spaces von verschiedenen Rängen ein, welche wir naive Einbettungen und natürliche Einbettungen nennen. Anschließend zeigen wir, dass natürliche Einbettungen von CVn nach CVk für n > 2 eine gewisse Art von Starrheit innehaben wohingegen natürliche Einbettungen von CV2 nach CVk zu weiteren isometrischen Einbettungen deformiert werden können.