On the efficient computation of multidimensional singular sums

Abstract

This thesis is concerned with the development of the singular Euler–Maclaurin expansion, a novel method that allows for the efficient evaluation of large sums over values of functions with singularities. The method offers an approximation to the sum whose runtime is independent of the number of summands and whose error falls of exponentially with the expansion order. Hereby, a powerful numerical tool is provided whose applications range from fast multidimensional summation methods in numerical analysis over the analysis of long-range interactions in condensed matter systems to the evaluation of partition functions in quantum physics. The numerical performance of the new method is demonstrated by precisely computing the forces in a topological defect in a one-dimensional chain of long-range interacting particles. Furthermore, prototypical sums in an infinite two-dimensional lattice are efficiently evaluated. In the derivation of the multidimensional expansion, a deep connection between our new method to analytical number theory is revealed. This connection provides tools for the efficient computation of the operator coefficients that appear in the expansion. On the other hand, the expansion yields new globally convergent representations of the Riemann zeta function and its generalisation to higher dimensions.

Die vorliegende Arbeit beschäfigt sich mit der Entwicklung der singulären Euler–Maclaurin Entwicklung, einer neuen Methode zur effizienten Auswertung großer Summen über Werte von Funktionen mit Singularitäten. Die Methode ermöglicht eine Approximation der Summe mit einem von der Anzahl an Summanden unabhängigen numerischen Aufwand, deren Approximationsfehler zudem exponentiell mit der Entwicklungsordnung abfällt. Hierdurch wird ein mächtiges numerisches Werkzeug bereitgestellt, dessen Anwendungen von der effizienten Auswertung großer mehrdimensionaler Summen in der Numerik über die Analyse von langreichweitigen Wechselwirkungen in Festkörpern bis hin zur Auswertung von Zustandssummen in der Quantenmechanik reichen. Die numerische Leistungsstärke der neuen Methode wird anhand der präzisen Auswertung von langreichweitigen Kräften innerhalb eines topologischen Defekts in einer eindimensionalen Kette aufgezeigt. Weiterhin werden prototypische Summen in einem unendlichen zweidimensionalen Gitter effizient berechnet. In der Herleitung der mehrdimensionalen Entwicklung tritt eine tiefgehende Verbindung zur analytischen Zahlentheorie zutage. Diese Verbindung kann einerseits genutzt werden, um die Operatorkoeffizienten der Entwicklung effizient zu berechnen. Andererseits stellt die Entwicklung neue global konvergente Darstellungen der Riemann Zeta Funktion und ihrer Verallgemeinerung auf höhere Raumdimensionen bereit.