Ein Verfahren zur Lösung inverser Wärmetransferprobleme mit implizitem Vorwärtsoperator zur Modellierung des Kühlprozesses von Stahlplatten

Abstract

In der vorliegenden Arbeit behandeln wir ein inverses 1D Wärmetransferproblem zur Bestimmung oberflächenenthalpieabhängiger Wärmeflüsse aus inneren Enthalpiemessungen. Das mathematische Modell, ein nichtlineares Anfangsrandwertproblem motiviert in dem ACC-Kühlprozess bei der Herstellung von TMCP-Stahl, beschreibt dabei die Evolution der räumlich und zeitlich abhängigen Enthalpie. Da eine Darstellung des Lösungsoperators aufgrund der Enthalpieabhängigkeit der Wärmeflüsse nur implizit angegeben werden kann, schlagen wir einen Parametrisierungsansatz durch Interpolation (PCHIP-Ansatz) vor, um die Implizität des Operators zu umgehen. Damit entkoppeln wir das Problem und erhalten einen explizit definierten Lösungs- und Vorwärtsoperator mit dem das inverse Problem nach klassischem Muster gelöst werden kann, indem wir iterativ ein Zielfunktional unter Nebenbedingungen minimieren. In dieser Arbeit implementieren wir dazu ein Quasi-Newton Projektionsverfahren (PQN), welches als ein Gradientenskalierungsverfahren die Kenntnis des Gradienten des Zielfunktionals voraussetzt. Nachdem wir die Existenz und Eindeutigkeit klassischer, sowie starker Lösungen für das zugrundeliegende Modell diskutiert und somit die Wohldefiniertheit des Lösungsoperators in den entsprechenden Räumen gerechtfertigt haben, leiten wir den angesprochenen Gradienten her. Abschließend testen wir den PCHIPAnsatz und das PQN-Verfahren für das inverse Wärmetransferproblem und vergleichen die Ergebnisse zum gedämpften Landweber-Verfahren.

In this work, we deal with an inverse 1D heat transfer problem in determining the surface enthalpy dependent heat fluxes from internal enthalpy measurements. The mathematical model, a nonlinear initial boundary value problem motivated in the ACC cooling process in the production of TMCP steel, describes the evolution of the spatially and temporally dependent enthalpy. Since a representation of the parameter-to-solution operator can only be given implicitly due to the enthalpy dependence of the heat fluxes, we propose a parameterization approach by interpolation (PCHIP approach) to overcome the implicitness of the operator. This way, we decouple the dependencies and obtain an explicitly defined parameter-to-solution (and forward) operator with which the inverse problem can be solved in the classical way by iteratively minimizing an objective functional under box-constraints. In this thesis, we implement a Projected Quasi-Newton (PQN) Method, which, as a gradient scaling method, requires the knowledge of the gradient of the objective functional. After discussing the existence and uniqueness of classical and strong solutions for the underlying model and thus justifying the well-definedness of the parameter-to-solution operator in the corresponding spaces, we derive the mentioned gradient. Finally, we test the PCHIP approach and the PQN method for the inverse heat transfer problem and compare the results to the attenuated Landweber method.