The SYK model and matrices with q-Gaussian entries

Abstract

The subject of this thesis are q-Gaussian variables and its relations with two kind of matrix models: the Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model and Wigner matrices with q-Gaussian entries. The results are divided into two sections. In the first part, we extend the results of Feng-Tian-Wei [12, 13] to the multivariate setting. As a consequence, we show that the dynamical version of the SYK model approximates the q-Brownian motion. We also characterize the asymptotic limit of uctuations for the SYK model. In the second part, we characterize the uctuations for Wigner matrices with q-Gaussian entries, and present a generalization of uctuations for the case of block matrices. This is connected with the recent work of Belinschi- Diaz-Mingo [1]. Wigner matrices with q-Gaussian entries and the SYK model, under some parameter assumptions, approximate semicircular variables. We compare the results for uctuations obtained in this thesis with the uctuations of the Gaussian Unitary Ensemble, which is the canonical matrix model that approximate semicircular variables.

Das Thema dieser Doktorarbeit sind q-Gaußsche Variablen und ihre Beziehung zu zwei Zufallsmatrixenmodellen: dem Sachdev-Ye-Kitaev-Modell (SYK) und Wignermatrizen mit q-Gaußschen Einträgen. Die Arbeit ist dementsprechend in zwei Teile unterteilt. Im ersten Teil erweitern wir die Resultate von Feng-Tian-Wei [12, 13] auf den multivariaten Fall. Insbesondere erhalten wir daraus, dass die dynamische Version des SYK-Modells die q-Brownsche Bewegung approximiert. Wir charakterisieren weiterhin den asymptotischen Limes von Fluktuationen des SYK-Modells. Im zweiten Teil charakterisieren wir die Fluktuationen von Wignermatrizen mit q-Gaußschen Einträgen, sowie eine Verallgemeinerung auf den Fall von Blockmatrizen; letzteres stellt eine Beziehungen zu jüngeren Arbeiten von Belinschi- Diaz-Mingo [1] dar. Wignermatrizen mit q-Gaußschen Einträgen sowie das SYK-Modell für gewisse Parameter approximieren Halbkreiselemente. Wir vergleichen unsere Resultate über Fluktuationen mit den Fluktuationen des GUE Ensembles, welches das kanonische Matrizenmodell zur Approximation von Halbkreiselementen ist.