On unitarily invariant subspaces and Cowen-Douglas theory : characterization of Toeplitz operators, Wold decomposition type theorems and fiber dimension for invariant subspaces

Abstract

Due to a classical result by Brown and Halmos, a bounded linear operator $T$ on the Hardy space $H^2(\mathbb{D})$ is a Toeplitz operator $T$ with bounded measurable symbol if and only if it satisfies the identity $M_z^\ast T M_z = T$. Olofsson and Louchichi proved that Toeplitz operators with harmonic symbol on the generalized Bergman spaces $A_m^2(\mathbb{D})$ can be characterized by a more general algebraic operator identity. We extend this result to the multidimensional setting of Toeplitz operators with pluriharmonic symbol on a unitarily invariant functional Hilbert space with appropriate kernel on the unit ball $\mathbb{B}_d \subseteq \mathbb{C}^d$. In the same setting, we use a multivariable extension of an analytic operator model constructed by Shimorin for single left invertible operators to deduce a variant of the classical Wold decomposition theorem. In doing so, we extend a Wold-type decomposition theorem on generalized Bergman spaces by Olofsson and Giselsson. Finally, we study the fiber dimension, an invariant of $\mathbb{C}[z]$-submodules of the space $\mathcal{O}(\Omega, D)$ of analytic functions on a complex submanifold $\Omega \subseteq \mathbb{C}^d$ with values in a finite-dimensional vector space $D$. We use model theorems for (weak) Cowen-Douglas tuples on Banach spaces to extend the definition of fiber dimension to the setting of (invariant) subspaces for such tuples. Here, we extend results by Chang, Chen and Fang for single Cowen-Douglas operators on a Hilbert space and deduce certain natural properties of this invariant.

Nach einem klassischen Ergebnis von Brown und Halmos ist ein beschränkter, linearer Operator T auf dem Hardyraum H2(D) ein Toeplitz-Operator mit beschränktem messbarem Symbol genau dann, wenn er die algebraische Identit ätM z TMz = T erfüllt. Olofsson und Louchichi haben gezeigt, dass Toeplitz- Operatoren mit harmonischem Symbol auf den verallgemeinerten Bergmanräumen A2 m(D) auf ähnliche Art durch eine algebraische Identität charakterisiert werden können. Wir beweisen ein entsprechendes Resultat für Toeplitz-Operatoren mit pluriharmonischem Symbol auf unitär invarianten funktionalen Hilberträumen mit geeignetem Kern über der Einheitskugel Bd Cd. Wir benutzen eine mehrdimensionale Verallgemeinerung eines Modellsatzes von Shimorin, um reguläre Operatortupel zu charakterisieren, die eine Wold-Zerlegung in einen koisometrischen Teil und einen Shiftteil besitzen. Ein entsprechender Satz für einzelne Operatoren geht zurück auf Olofsson und Giselsson. Abschließend betrachten wir die Faserdimension, eine Invariante von C[z]- Untermoduln des Raums O( ;D) der analytischen Funktionen auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit Cd mit Werten in einem endlichdimensionalen Vektorraum D. Wir nutzen ähnliche Modellsätze für (schwache) Cowen- Douglas-Tupel auf Banachräumen, um eine Faserdimension für (invariante) Teilräume solcher Tupel zu definieren. Dabei verallgemeinern wir Ergebnisse von Chang, Chen und Fang für einzelne Cowen-Douglas-Operatoren auf Hilberträumen. Wir beenden diese Arbeit, indem wir einige Eigenschaften dieser Invariante herleiten.