Easy quantum groups : linear independencies, models and partition quantum spaces

Abstract

This work presents results in the context of (unitary) easy quantum groups. These are compact matrix quantum groups featuring a rich combinatorial structure given by partitions (of sets). This thesis reports on three topics within this area. Topic 1: Linear independence of the intertwiner maps Tp in the free case: Given a suitable collection of partitions p, there exists by definition a connection to easy quantum groups via intertwiner maps Tp. A sufficient condition for this correspondence to be one-to-one are particular linear independences on the level of maps Tp. In the case of non-crossing partitions, a proof of this linear independence can be traced down to a matrix determinant formula, developed by W. Tutte. We present a revised and adapted version of Tutte's work and the link to the problem above, trusting that this self-contained workout will assist others in the field of easy quantum groups. In particular, we fixed some errors in the original work and adapted in this sense notations, definitions, statements and proofs. Topic 2: A chain of models for C(S+ N): For any given natural number N 2 N 4 we present a chain of models (Bn;Mn)n2N for the C -algebra C(S+ N) which allows an inverse limit (B1;M1). For small n the elements in the chain have a quite concrete and comprehensive structure. In the inverse limit we obtain a compact matrix quantum group G = (B1;M1) that fulfils SN ( G S+ N. For N 2 f4; 5g it holds G = S+ N. Topic 3: Partition quantum spaces: Analogous to the construction of an easy quantum group G from a given set of partitions, we propose a definition for partition quantum spaces X, which are tuples of quantum vectors inspired by the first d columns of matrices in G. However, we define them as universal C -algebras, independently of those quantum groups. The central result is the reconstruction of G from X as its quantum symmetry group QSymG(X), at least if the number d is sufficiently large. In the case of non-crossing partitions, the minimal value for d to permit this reconstruction is proved to be one or two.

Diese Arbeit widmet sich Forschungsergebnissen im Bereich der (unitären) easy Quantengruppen. Dies sind kompakte Matrix-Quantengruppen mit stark kombinatorisch geprägter Struktur, welche durch Partitionen auf Mengen gegeben ist. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit drei Themen innerhalb dieses Bereichs. Thema 1: Lineare Unabhängigkeit von Intertwiner-Abbildungen Tp im freien Fall: Per definitionem existiert ein Zusammenhang zwischen geeigneten Familien von Partitionen p und easy Quantengruppen, der durch Intertwiner-Abbildungen Tp hergestellt wird. Eine hinreichende Bedingung für die Eineindeutigkeit dieses Zusammenhangs sind gewisse lineare Unabhängigkeiten auf Ebene der Abbildungen Tp. Im Falle nichtkreuzender Partitionen können diese linearen Unabhängigkeiten mittels einer Matrixdeterminanten-Formel, wie sie von W. Tutte entwickelt wurde, bewiesen werden. Wir präsentieren eine überarbeitete, an obige Fragestellung angepasste Version der Arbeit Tuttes und ebenso die Argumentationsschritte zwischen ursprünglichem Problem und erwähnter Determinantenformel. Insbesondere korrigiert die vorliegende Arbeit einige Fehler in der ursprünglichen Quelle und ändert in Folge dessen weitere Schreibweisen, Definitionen, Behauptungen und Beweise ab. Thema 2: Eine Folge von Modellen für C(S+ N): Für eine gegebene natürliche Zahl N 2 N 4 konstruieren wir eine Folge von Modellen (Bn;Mn) der C -Algebra C(S+ N), die die Konstruktion eines inversen Limes (B1;M1) erlaubt. Für kleine n haben die Folgenglieder sehr konkrete und anschauliche Strukturen. Der inverse Limes dieser Folge liefert eine kompakte Matrixquantengruppe G = (B1;M1), welche SN ( G S+ N erfüllt. Im Falle N 2 f4; 5g gilt G = S+ N. Thema 3: Partition quantum spaces: Analog zur Konstruktion einer easy Quantengruppe G auf Grundlage einer gegebenen Menge an Partitionen, stellen wir eine Definition für partition quantum spaces, Partitionen-Quantenräume, vor. Deren Elemente sind Tupel von Quantenvektoren, angelehnt an die ersten d Spalten der Quantenmatrizen in G. Wir definieren jedoch diese Quantenräume als universelle C -Algebren, zunächst ohne direkten Bezug zu diesen Quantenmatrizen. Das Hauptresultat ist die Rekonstruktion der easy Quantengruppe G aus dem Quantenraum X als dessen Quantensymmetriegruppe QSymG(X), zumindest für hinreichend große Spaltenzahl d. Im Falle nicht-kreuzender Partitionen wird gezeigt, dass der kleinstm ögliche Wert für d, der diese Rekonstruktion erlaubt, entweder eins oder zwei ist.