K-contractions and perturbations of Toeplitz operators

Abstract

The present thesis is concerned with two different problems from multivariable operator theory on Hilbert spaces; the model theory for commuting contractive operator tuples, and perturbations of (analytic) Toeplitz operators. The first part develops a generalization of the model theory of Agler, Müller-Vasilescu, Pott, Arveson, Ambrozie-Engliš-Müller, Arazy-Engliš and Olofsson for a class of reproducing kernel Hilbert spaces on the open unit ball in C^d. Here, we examine two classes of commuting tuples which coincide for the case of weighted Bergman spaces with m-hypercontractions and for suitable Nevanlinna-Pick spaces with a class of commuting tuples recently studied by Clouâtre-Hartz. As an application, we obtain a Beurling-type theorem, where we characterize the invariant subspaces of the shift operator which arise as the image of suitable partially isometric multipliers. As a second consequence, we extend the work of Arveson and Bhattacharjee et al. on the uniqueness of minimal coextensions. In the second part we study Toeplitz operators associated with regular A-isometries, a notion introduced by Eschmeier as a generalization of spherical isometries. In this setting, we use results of Didas-Eschmeier-Everard to characterize finite-rank and Schatten-class perturbations of (analytic) Toeplitz operators.

In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit zwei Teilgebieten der mehrdimensionalen Operatorentheorie auf Hilberträumen; zum einen mit der Modelltheorie für kontraktive Operatortupel, zum anderen mit Störungen von (analytischen) Toeplitzoperatoren. Der erste Teil stellt eine Verallgemeinerung der Modellsätze von Agler, Müller-Vasilescu, Pott, Arveson, Ambrozie-Engliš-Müller, Arazy-Engliš und Olofsson für eine Klasse von funktionalen Hilberträumen auf der offenen Einheitskugel in C^d dar. Hierbei untersuchen wir zwei Klassen von kommutierenden Tupeln, welche im Fall von gewichteten Bergmanräumen mit den m-Hyperkontraktionen und im Fall einer geeigneten Teilklasse von vollständigen Nevanlinna-Pick-Räumen mit den von Clouâtre-Hartz untersuchten Tupeln zusammenfallen. Als Folgerung erhalten wir einen Satz vom Beurlingtyp, der die invarianten Teilräume des Shifts, die Bild einer geeigneten partiellen Isometrie sind, charakterisiert. Ebenfalls können wir Resultate von Arveson und Bhattacharjee et al. über die Eindeutigkeit von minimalen Koerweiterungen auf unsere allgemeinere Situation übertragen. Im Anschluss wenden wir uns einer von Eschmeier eingeführten Verallgemeinerung der Klasse der sphärischen Isometrien, sogenannten A-Isometrien, zu. Wir benutzen Resultate von Didas-Eschmeier-Everard, um Störungen mit endlichem Rang und Schattenklasse-Störungen von (analytischen) Toeplitzoperatoren zu charakterisieren.