Canonical curves, scrolls and K3 surfaces

Abstract

In this thesis we study minimal free resolutions of canonical curves C as well as so-called relative canonical resolutions of canonical curves inside scrolls swept out by a pencil of divisors on C. For general 5-gonal canonical curves we will show that all bundles in the relative canonical resolution are balanced. Furthermore, we will give a necessary and sufficient criterion for balancedness of the first syzygy bundle appearing in the relative canonical resolution of Brill-Noether general curves. For general genus 9 curves we will relate the unbalancedness of the second syzygy bundle to the existence of certain K3 surfaces of higher Picard rank which contain the curves. This yields an unirationality result for certain moduli spaces of lattice polarized K3 surfaces. Another subject of this thesis is the study of the homologies occurring in a linearized free resolution of (k-gonal) canonical curves. Based on computer algebra experiments we will also suggest a refinement of the classical Green-conjecture, which conjecturally also holds in positive characteristic.

In dieser Arbeit studieren wir minimale freie Auflösungen von kanonischen Kurven C und sogenannte relative kanonische Auflösungen von kanonischen Kurven auf rationalen Regelvarietäten, die von einem Büschel von Divisoren auf C ausgeschnitten werden. Für eine allgemeine 5-gonale kanonische Kurve zeigen wir, dass alle Bündel in der relativen kanonischen Auflösung balanciert sind. Des Weiteren geben wir ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Balanciertheit des ersten Syzgygienbündel in der relativen kanonischen Auflösung für Brill-Noether allgemeine Kurven an. Für Geschlecht 9 Kurven setzen wir die Unbalanciertheit des zweiten Syzygienbündels mit der Existenz von K3 Flächen von höherem Picardrang, welche die Kurve enthalten, in Verbindung. Dies führt zu Unirationalitätsresultaten für bestimmte Modulräume von gitterpolarisierten K3 Flächen. Ein weiteres Thema dieser Arbeit ist das Studium der Homologien in linearisierten freien Auflösungen von (k-gonalen) kanonischen Kurven. Auf Grund von Computeralgebra experimenten werden wir zudem eine Erweiterung der klassischen Greenschen Vermutung vorschlagen, welche mutmaßlich auch in positiver Charakteristik gilt.