On the analytic theory of non-commutative distributions in free probability

Abstract

Non-commutative distributions constitute the backbone of non-commutative probability in general and free probability in particular. In the multivariate case, these objects are mostly treated by combinatorial means, because an analytic description in terms of measures – as one is used to in classical probability – fails due to the underlying non-commutativity. However, the rapidly growing field of “free analysis”, which is developed as a counterpart of classical analysis at the highest degree of non-commutativity, offers already many powerful tools for an analytic treatment of non-commutative distributions. Indeed, during the last years, some significant progress has been made on very fundamental questions in that context. This thesis reports on successful attempts which follow the common strategy that properties of the joint non-commutative distribution of non-commutative random variables can be understood by studying the single-variable distributions of evaluations of suitable “non-commutative test functions”. More precisely, we discuss the following topics: Computation of analytic distributions and of Brown measures Regularity questions

Nichtkommutative Verteilungen bilden eine tragende Säule in der nichtkommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie im Allgemeinen und der freien Wahrscheinlichkeitstheorie im Besonderen. Im Fall mehrerer Variablen werden diese Objekte meist mit kombinatorischen Mitteln behandelt, da eine analytische Beschreibung durch Maße – in der Form, wie man es in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie gewohnt ist – wegen der zugrundeliegenden Nichtkommutativität nicht möglich ist. Jedoch stellt das stark wachsende Gebiet der “freien Analysis”, welche als ein Gegenstück zur klassischen Analysis auf der Ebene maximaler Nichtkommutativität entwickelt wird, bereits eine Vielzahl mächtiger Werkzeuge zur analytischen Behandlung nichtkommutativer Verteilungen bereit. In der Tat wurden in den letzten Jahren einige wesentliche Fortschritte bei sehr fundamentalen Fragestellungen in diesem Zusammenhang erzielt. Die vorliegende Arbeit berichtet über erfolgreiche Ansätze, welche der gemeinsamen Strategie folgen, dass Eigenschaften nichtkommutativer Verteilungen von nichtkommutativen Zufallsvariablen dadurch verstanden werden können, dass man die einvariabligen Verteilungen von Auswertungen passender “nichtkommutativer Testfunktionen” untersucht. Genauer werden die folgenden Themen diskutiert: Berechnung von analytischen Verteilungen und Brown-Maßen Regularitätsfragen