Tropical covers, moduli spaces & mirror symmetry

Abstract

Classical Hurwitz theory is the theory of ramified coverings of a Riemann surface, which in various ways has influence on other fields of mathematics. Tropical geometry considers degenerations of such objects from algebraic geometry, which can be naturally treated by combinatorial means. In my thesis I unify definitions for tropical Hurwitz theory and give an intrinsic definition of tropical Hurwitz numbers as degree of a tropical branch map. Furthermore I use tropical Hurwitz theory to construct a new, non-physical proof for mirror symmetry of elliptic curves by prooving tropical mirror symmetry for elliptic curves and using existing correspondency theorems that link tropical geometry objects to algebraic geometry objects. In this context tropical mirror symmetry - as also mentioned by Mark Gross - seems to be so naturally, that it recommends the use of tropical geometry for proving mirror symmetry statements.

Klassische Hurwitztheorie ist die Theorie der verzweigten Überlagerungen einer Riemannschen Fläche, die auf vielfältige Art in andere Bereiche der Mathematik einfließt. In der tropischen Geometrie betrachtet man Degenerationen derartiger Objekte der algebraischen Geometrie, die auf natürliche Art und Weise mit kombinatorischen Mitteln behandelt werden können. In meiner Arbeit vereinheitliche ich zunächst die in der Literatur zu findenden Definitionen für tropische Hurwitztheorie und gebe eine intrinsische Definition für tropische Hurwitzzahlen als Grad einer tropischen Verzweigungsabbildung. Des Weiteren benutze ich tropische Hurwitztheorie, um einen neuen, nicht-physikalischen Beweis der Spiegelsymmetrie von elliptischen Kurven zu konstruieren, indem ich die tropische Spiegelsymmetrie von elliptischen Kurve beweise und schon vorhandene Korrespondenzsätze zur algebraischen Geometrie nutze. Die tropische Spiegelsymmtrie erscheint in diesem Zusammenhang - wie auch bei Mark Gross - derart natürlich, dass Sie die Verwendung der tropischen Geometrie zum Beweis von Aussagen der Spiegelsymmetrie nahelegt.