Inverse Probleme mit unbeschränktem Operator : Theorie und Anwendung in der Elektronen-Tomographie

Abstract

Seien X und Y Banachräume und A: X -> Y ein linearer Operator mit Definitionsbereich D(A). Zentraler Gegenstand der Untersuchungen in dieser Arbeit ist das inverse Problem der Bestimmung einer Lösung f der Gleichung Af=g für gegebenes g aus Y. Entgegen der üblichen Voraussetzungen bei inversen Problemen wird davon ausgegangen, dass A unbeschränkt ist, d..h. dass seine Operatornorm nicht notwendigerweise endlich ist. Es wird demonstriert, dass sich die Methode der approximativen Inversen (AI) auf unbeschränkte Banachraumoperatoren übertragen lässt, indem zusätzliche Bedingungen an den Mollifier gestellt werden, welche im Falle beschränkter Operatoren nicht erforderlich sind. Darüber hinaus wird nachgewiesen, dass die approximative Inverse ein Regularisierungsverfahren ist, sofern der Rekonstruktionskern gewisse Voraussetzungen erfüllt. Desweiteren stellt die vorliegende Arbeit eine Erweiterung der Methode zur Feature-Rekonstruktion vor, bei der die Anwendung eines linearen Operators auf die Lösung direkt aus den Messdaten berechnet wird. Als Hauptanwendungsgebiet der AI-Methode wird die Elektronen-Tomographie (ET) eingeführt. Dabei handelt es sich um ein bildgebendes Verfahren, das mit Hilfe eines Elektronenmikroskops die dreidimensionale Struktur von organischen oder anorganischen Substanzen untersucht. Mit der Herleitung eines linearen mathematischen Modells wird deutlich, dass sich das inverse Problem auf zwei Raumdimensionen reduzieren lässt. Aus der AI-Methode für unbeschränkte Operatoren werden Rekonstruktionsformeln hergeleitet, und für konkrete Mollifier sowie gewisse Parameterwahlen wird die Regularisierungseigenschaft nachgewiesen. Zur Verifikation der theoretischen Resultate werden numerische Ergebnisse präsentiert, die auf der Basis simulierter Messdaten entstanden sind. Verschiedene Verfahrensparameter werden im Hinblick auf ihren Einfluss auf die Qualität der Rekonstruktionsergebnisse untersucht. Zudem zeigen numerische Beispiele zur Feature-Rekonstruktion, dass Ableitungen der Lösung direkt aus den Messdaten stabil berechnet werden können. Die abschließenden Ergebnisse mit realen Messdaten demonstrieren, dass die eingeführte AI-Methode bessere Resultate liefert als etablierte Verfahren, da sie eine bessere Dämpfung der typischen Fehler in ET-Daten bewirkt.

Let X and Y be Banach spaces and A: X -> Y a linear operator with domain D(A). The main task in the current work is the inverse problem to determine a solution f of the equation Af=g for a given g in Y. In contrast to common prerequisites in inverse problems, it is assumed that A is unbounded, i.e., that its operator norm is not necessarily finite. The method of approximate inverse (AI) is proven to be applicable to such unbounded operators on Banach spaces if a mollifier meets certain conditions not required in the bounded case. It is additionally shown that the AI method is a regularization under certain constraints on the reconstruction kernel. Furthermore, this work presents an extension to the principle of feature reconstruction, where the application of a linear operator to the unknown solution is directly determined from the measured data. Electron tomography (ET) is introduced in the current thesis as the main field of application for the AI technique. This imaging method strives to determine the three-dimensional structure of organic or anorganic material with the help of an electron microscope. The derivation of a linear mathematical model shows that the inverse problem can be reduced to two spatial dimensions. Reconstruction formulas are deduced by means of the AI method, and for particular mollifiers and choices of the regularization parameter, the regularization property is proven. To verify the theoretical results, numerical reconstructions based on simulated data are presented. Several method parameters are investigated with respect to their influence on the quality of the resulting images. In addition, numerical examples for feature reconstruction show that derivatives can be computed in a stable manner directly from the data. The concluding results with real measured data demonstrate that the introduced AI method is superior compared to established methods since typical errors in the ET data are attenuated more effectively.