Discretization of backward stochastic Volterra integral equations

Abstract

We generalize a numerical method for backward stochastic differential equations by Ma et al. (Ann. Appl. Probab. 12, 2002) to backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs, for short). Under certain regularity conditions on the coefficients the adapted M-solution of the BSVIE can be approximated by a sequence of discrete BSVIEs (DBSVIEs, for short) driven by a binary random walk. Precisely, we show that the sequence of discrete solutions from the obtained DBSVIE converges weakly to the continuous solution from the BSVIE in the Skorokhod topology. As a main tool for the proof we relate the M-solution of our BSVIE to a non-standard system of quasilinear partial differential equation of parabolic type. We finally illustrate the convergence result by a numerical example.

Wir verallgemeinern eine numerische Methode für rückwärts stochastische Differentialgleichungen, eingeführt von Ma et al. (Ann. Appl. Probab. 12, 2002), auf rückwärts stochastische Volterra Integralgleichungen (kurz BSVIEs). Wir zeigen, dass unter gewissen Glattheitsbedingungen an die Koeffizienten die adaptierte M-Lösung von einer BSVIE durch eine bestimmte Folge von diskreten BSVIEs (kurz DBSVIEs) approximiert werden kann. Genauer, zeigen wir, dass die Folge der diskreten Lösungen der DBSVIEs schwach gegen die stetige Lösung der BSVIE in der Skorokhod Topologie konvergiert. Für den Beweis dieses Resultats ist es wichtig, dass die M-Lösung der BSVIE mit quasilinearen partiellen Differentialgleichungen vom parabolischem Typ verknüpft werden kann. Zum Schluß werden wir das Konvergenzresultat noch mit einem numerischen Beispiel veranschaulichen.