Deterministische parallele Verfahren zur numerischen Lösung der räumlich inhomogenen Boltzmann-Gleichung

Abstract

Das Ziel dieser Arbeit war die Bereitstellung neuer numerischer Methoden für die Boltzmann-Gleichung, die die folgenden Merkmale besitzen: Sie sollten bezüglich der Rechenzeit in einem mit den zur Zeit dominierenden stochastischen Verfahren (Monte Carlo methods) vergleichbaren Rahmen liegen, aber eine wesentlich höhere Genauigkeit aufweisen. Ein paralleles Verfahren für die räumlich inhomogene Boltzmann-Gleichung, das auf einer Operator-Splitting-Technik basiert, wird vorgestellt. Die Transportphase wird durch die bekannten expliziten und impliziten Upwind-Differenzenverfahren und Essentially-Non-Oscillatory-(ENO)- bzw. Weighted-Essentially-Non-Oscillatory-(WENO)-Verfahren in ein und zwei Raumdimensionen modelliert. Der Kollisionsschritt wird mit einer effizienten merischen Berechnung einer Approximation des Kollisionsintegrals auf einem gleichmäßigen Geschwindigkeitsgitter behandelt, welche auf einer Darstellung des Kollisionsintegrals beruht, die in [32] entwickelt wurde. Das Simulationsgebiet ist beschränkt und wir werden die deterministische numerische Approximation verschiedener Randbedingungen, wie z.B. diffuse Reflexion oder Spiegelreflexion, diskutieren. Weiter wird ein neues Beispiel für Streukerne mit Adsorptionszeitabhängigkeit gegeben. Die Operator-Splitting-Technik erlaubt eine effiziente Parallelisierung und die zugehörigen numerischen Ergebnisse, die wir für das Wärmeleitungsproblem zwischen parallelen Platten (in einer und zwei Raumdimensionen) im Falle des Maxwell-Pseudo-Molekül-Kollisionsmodells wie auch für die Simulation eines Schockprofils, wobei hier das BGK-Kollisionsmodell genutzt wird, erhalten, werden vorgestellt.

This work was aimed at providing new deterministic numerical methods for the Boltzmann equation equipped with the following features: they should have a computational cost comparable with prevailing stochastic algorithms (Monte Carlo methods) while producing superior numerical results with respect to accuracy. A parallel scheme for the spatially non-homogeneous Boltzmann equation based on an operator splitting method is presented. The transport step is carried out using the well-known explicit and implicit upwind difference schemes and the Essentially Non-Oscillatory (ENO) or Weighted Essentially Non-Oscillatory schemes (WENO) in one or two space dimensions. The collision step is treated by efficent approximate computation of the collision integral on the uniform grid based on the representation of the collision integral developed in [32]. The spatial domain of simulation is bounded and deterministic numerical approximations of different types of boundary conditions, e.g. diffuse or specular reflection, are discussed. Furthermore, a new example for scattering kernels with adsorption time dependence is given. The operator splitting method allows an efficient parallelization and the numerical results obtained for the heat transfer problem between two parallel plates (in one and two space dimensions) in the case of Maxwell pseudo-molecules as well as for the simulation of shock profiles using the BGK collision model are presented.