Schnelle Randelementmethoden für die Helmholtz-Gleichung

Abstract

In dieser Arbeit wurde die Lösung der äußeren Randwertprobleme der Helmholtz-Gleichung mit schnellen Randelementmethoden diskutiert. Insbesondere standen die Generierung der Kollokationsmatrizen und die blockweise Niedrigrang-Approximation dieser im Mittelpunkt unseres Interesses. Zunächst stellten wir die sogenannte Fourier-Methode zur Auswertung der Matrizeneinträge für ein Spektrum aus Wellenzahlen vor. Das auf der Fourier-Transformation bezüglich der Wellenzahl basierende Verfahren wurde auf die Einfach- und Doppelschichtpotentialmatrizen angewendet und anhand einiger numerischer Experimente validiert. Wir zeigten, dass die geschickte Anwendung der Fourier-Transformation und die Rücktransformation auf die Singularitäten-Funktionen ein sehr effizientes und stabiles Verfahren zur teilweisen analytischen Berechnung der auftretenden Integrale darstellt. In analoger Weise können auch Ausdrücke für die anderen Randintegraloperatoren bzw. die entsprechenden Kollokationsmatrizen gefunden werden. Detaillierte Untersuchungen dieser sowie der Galerkin-Matrizen stehen jedoch noch aus. Darüber hinaus entwickelten wir das ACA-Verfahren (Adaptive Cross Approximation) zur blockweisen Niedrigrang-Approximation von Matrizen weiter. Nach der Erzeugung einer zulässigen hierarchischen Zerlegung der Matrix wurde der Algorithmus formal auf die komplexwertigen Kollokationsmatrizen der Helmholtz-Gleichung angepasst. Numerische Tests zeigten, dass dieses Verfahren für nicht asymptotisch glatte Kerne, die sich durch degenerierte Kerne approximieren lassen, gute Ergebnisse liefert. Zur Zeit können theoretische Aussagen über die Konvergenz und Komplexität der Methode jedoch nur für asymptotisch glatte Kerne gezeigt werden.