Algebraische Methoden zur Parameteridentifikation für lineare unendlichdimensionale Systeme

Abstract

Während für durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschriebene Systeme eine Vielzahl an bekannten Verfahren zur Parameteridentifikation zur Verfügung stehen, basieren jene für Systeme unendlicher Dimension (wie Transportprozesse oder Leitungsprobleme) häufig auf endlichdimensionalen Ersatzmodellen. Der hier vorgestellte algebraische Zugang kommt ohne derartige Approximationen aus und ist in diesem Sinne exakt. Er nutzt neben der Laplace-Transformation mit dem Ritt-Algorithmus und dem Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbner-Basen Methoden der kommutativen und Differentialalgebra, um eine einfache polynomiale Gleichung als Beziehung zwischen konzentrierten Messsignalen und den unbekannten Systemparametern herzuleiten. Letztlich erfordert die Berechnung der Parameter lediglich die Auswertung von Faltungsprodukten der Trajektorien gemessener Größen. In der Arbeit wird neben einem allgemeinen Algorithmus zur Identifikation der Parameter in partiellen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ein entsprechendes Vorgehen für spezielle Gleichungen mit ortsabhängigen Koeffizienten diskutiert. Unterstützt sowohl durch Simulationsergebnisse als auch durch eine Messung illustrieren zahlreiche Fallstudien die Anwendung der algebraischen Methode zur Parameteridentifikation auch auf weitere Systemklassen wie beispielsweise fraktionale Systeme.

While a wide range of methods of identification is known for finite-dimensional systems, this is not the case for systems of infinite dimension (such as transmission or diffusion processes). As a result, most methods rely on finite-dimensional approximations. In contrast, the algebraic approach presented here is an exact method that does not require any approximations. It derives simple polynomial equations relating the concentrated measurements and the unknown parameters by using the Laplace transform and applying methods of commutative and differential algebra such as the Ritt algorithm and the Buchberger algorithm for computing Gröbner bases. In the end, the identification of parameters requires only the calculation of convolution products of measurement signals. In addition to presenting the general identification procedure for partial differential equations with constant coefficients, this thesis discusses an equivalent approach for partial differential equations with spatially dependent coefficients. Reviewing a manifold of case studies, simulation results and experimental data serve to illustrate the identification method. They also show the applicability of the algebraic approach to a broader spectrum of systems such as fractional systems.