Selbst-adaptive Finite-Elemente-Verfahren zur Simulation passiver Mikrowellenstrukturen

Abstract

Die Methode der finiten Elemente (FE-Methode) ermöglicht den Verfahrensfehler einer berechneten Lösung durch Erhöhen der Netzdichte oder durch Verwenden von FE-Ansätzen höherer Ordnung zu steuern. Bei praktischen Problemstellungen mit Singularitäten verschlechtert sich die theoretisch erreichbare Konvergenzrate des FE-Verfahrens. In der vorliegenden Arbeit wird ein adaptives FE-Verfahren zur Simulation passiver Mikrowellenstrukturen entwickelt, das die Bereiche der Singularitäten identifiziert, um dort die Netzdichte lokal zu erhöhen und die theoretisch erreichbare Konvergenzrate wiederherzustellen. Hierzu wird ein impliziter lokaler a posteriori Fehlerindikator vorgestellt, der als Ausgangspunkt für ein zielorientiertes adaptives FE-Verfahren dient. Der Schätzwert des Fehlerindikators wird über ein lokales Dirichlet-Problem ermittelt, das diesen in der Zielgröße der Streuparameter ausdrückt. Anwendungsbeispiele zeigen, dass das vorgestellte adaptive Verfahren die Konvergenzraten bei praktischen Problemstellungen mit Singularitäten wiederherstellen kann.

The finite element method (FE method) allows to control the error of approximation of a FE computation by increasing the mesh density or by using higher order elements. Typical problems with singularities lead to a worse convergence rate in the FE method as theoretically achievable. The work in hand develops an adaptive FE method for the simulation of passive microwave devices, which detects the regions of singularities to locally increase mesh density and to restore the achievable convergence rate. For this reason an implicit local a posteriori error indicator is presented which is the basis for a goal-oriented adaptive FE method. The estimated error is expressed in terms of scattering parameters by using a local Dirichlet problem. Examples show that the presented adaptive method can restore the theoretically achievable convergence rates in the case of typical problems with singularities.