Effiziente Methoden der parametrischen Ordnungsreduktion für affin und nicht-affin parametrierte Modelle mit Anwendungen in der Finite-Elemente-Simulation von Mikrowellenstrukturen

Abstract

Numerische Diskretisierungsverfahren sind in der Lage, technische Bauteile mit hoher Genauigkeit anhand numerischer Modelle zu charakterisieren. Der computergestützte Bauteilentwurf erfordert, solche Modelle wiederholt für verschiedene Parameterkonfigurationen auszuwerten, wobei für jede Auswertung ein lineares Gleichungssystem hoher Dimension gelöst werden muss. Insbesondere Parameterstudien und Methoden der mathematischen Optimierung benötigen eine sehr große Anzahl an Modellauswertungen. In diesem Kontext führen Verfahren der parametrischen Modellordnungsreduktion (PMOR) zu einer signifikanten Minderung des numerischen Aufwands. Die vorliegende Arbeit entwickelt ein neuartiges Rahmenwerk zur Erzeugung von parametrischen reduzierten Modellen, die um Größenordnungen schneller ausgewertet werden können als die ursprünglichen numerischen Modelle und dennoch sehr genau sind. Auf diesem Rahmenwerk aufbauend werden zwei konkrete PMOR-Verfahren vorgestellt. Beide verwenden Tensorgitter zur Diskretisierung des Parameterraums. Während das erste Verfahren eine gleichmäßige Verfeinerung des Tensorgitters benutzt, handelt es sich bei dem zweiten um ein auf ungleichmäßiger Verfeinerung beruhendes selbst-adaptives Verfahren. Eine Anwendung der vorgeschlagenen PMOR-Ansätze zur Geometrieoptimierung von Mikrowellenstrukturen rundet die Arbeit ab. Numerische Beispiele untermauern die Effektivität, Zuverlässigkeit und Praxisrelevanz der vorgeschlagenen Methodik.

Numerical discretization methods are able to characterize technical devices very accurately by means of numerical models. The computer-aided design of such structures requires such models to be evaluated repeatedly for different parameter configurations, where for each evaluation a high-dimensional system of linear equations has to be solved. Especially parametric studies and methods of mathematical optimization require very large numbers of model evaluations. In this context, methods of parametric model order reduction (PMOR) lead to a significant reduction of computational costs. The present work develops a novel framework for the generation of parametric reduced order models, which can be evaluated by orders of magnitude faster than the original numerical models and are still very accurate. Based on this framework, two concrete PMOR methods are presented. Both employ tensor grids for discretizing the parameter space. While the first method uses uniform grid refinement, the second one is a self-adaptive approach based on non-uniform refinement. An application of the suggested PMOR approaches to shape optimization of microwave structures completes the work. Numerical examples confirm the efficiency, reliability, and practical relevance of the proposed methodology.