Spatial dynamics approaches to hydroelastic surface waves

Abstract

In this dissertation we present existence theories for three distinct types of travelling hydroelastic surface waves: doubly periodic waves which are periodic in two distinct horizontal directions, two-dimensional line solitary waves which are localised in the horizontal direction and periodically modulated solitary waves which are localised in one horizontal direction and periodic in the other. All our existence results are based on formulations of the hydrodynamic problem as a spatial Hamiltonian system. For the existence theory of doubly periodic waves we use a resonant version of the Lyapunov centre theorem which is proved in this thesis. The existence of line solitary waves is proved using a centre-manifold reduction to reduce the problem to a locally equivalent finite-dimensional Hamiltonian system which has homoclinic orbits. Finally we prove existence of periodically modulated solitary waves which emanate from the line solitary waves in a dimension-breaking bifurcation using well-developed techniques from existence theory for water waves.

In dieser Dissertation präsentieren wir Existenztheorien für drei verschiedene Typen permanenter hydroelastischer Oberflächenwellen: doppelt periodische Wellen die periodisch in zwei verschiedene horizontale Richtungen sind, zweidimensionale solitäre Wellen, welche entlang der horizontalen Achse lokalisiert sind und periodisch modulierte solitäre Wellen, welche entlang einer horizontalen Richtung lokalisiert und entlang der senkrechten periodisch sind. All unsere Existenzbeweise basieren auf einer Formulierung des hydrodynamischen Problems als räumliches hamiltonsches System. Für die Existenztheorie doppelt periodischer Wellen nutzen wir eine resonante Version des Lyapunovschen Zentrumssatzes, welche in dieser Arbeit bewiesen wird. Die Existenz zweidimensionaler solitärer Wellen wird mithilfe einer Zentrumsmannigfaltigkeitsreduktion bewiesen, die das Problem auf ein endlichdimensionales hamiltonsches System reduziert, welches homokline Lösungen besitzt. Im letzten Teil beweisen wir die Existenz periodisch modulierter solitärer Wellen, welche aus einer zweidimensionalen solitären Welle in einer dimensionsbrechenden Bifurkation enstehen, indem wir gut erforschte Techniken aus der Existenztheorie von Wasserwellen verwenden.