End-to-end quantum computation of the response function of elastic structures

Abstract

Quantum computing is at a pivotal stage where hardware advancements are steady, yet most quantum algorithms lack guaranteed advantages in real-world applications. This thesis explores the application of quantum computing to elastic structure problems. In our case, this is related to the broader class of finite element problems. We propose an end-to-end response function calculator for coupled oscillators based on quantum phase estimation, addressing its typical input-output bottlenecks. Specifically, we achieve eigenstate preparation in a single gate, encode a sparse 𝑁 × 𝑁 matrix using at most O (polylog 𝑁) gates, and minimize the sampling overhead by reducing the output. These innovations result in an overall runtime that is polynomial in 𝑁, but outperforms classical alternatives, while reducing memory requirements exponentially compared to classical computation. The core strategy lies in simplifying the problem complexity and focusing on minimalistic outputs while exploiting the full 𝑁-dimensional Hilbert space only during the intermediate quantum steps. This work demonstrates that quantum computing can not only reduce memory demands, but also achieve meaningful speed-ups when real-world problems are reformulated into humanly manageable subproblems.

Quantencomputer entwickeln sich rasant weiter, doch die meisten Quantenalgorithmen verlieren ihren Vorteil bei angewandten Problemen. Diese Arbeit untersucht den Einsatz von Quantencomputern zur Analyse elastischer Strukturen, welcher auf die größere Familie der Finite-Elemente-Probleme übertragbar ist. Wir präsentieren einen vollständigen Algorithmus zur Berechnung von Antwortfunktionen gekoppelter Oszillatoren, der auf der Quantenphasenschätzung basiert und typische Input-Output-Herausforderungen löst. Konkret umfasst dies die Erzeugung von Eigenzuständen in einem einzigen Gatterschritt, die Implementierung einer dünnbesetzten 𝑁×𝑁-Matrix mit maximal O (polylog 𝑁) Gatterschritten sowie die Reduktion des Messaufwands auf das notwendige Minimum. Dies führt zu einer Laufzeit, die polynomiell in 𝑁 ist und klassische Alternativen übertrifft, während der Speicherbedarf im Vergleich zu klassischen Algorithmen exponentiell geringer ist. Der Schlüssel zu diesem Fortschritt liegt in der Vereinfachung der Problemkomplexität und der Fokussierung auf minimale Ausgaben, während der volle 𝑁-dimensionale Hilbertraum ausschließlich in den quantenmechanischen Zwischenschritten genutzt wird. Diese Arbeit zeigt, dass Quantencomputer nicht nur den Speicherbedarf reduzieren, sondern auch schwer erreichbare Geschwindigkeitsvorteile erzielen können – vorausgesetzt, das Problem kann in handhabbare Teilprobleme umformuliert werden.