Dynamic refractive tensor field tomography as an inverse problem for a transport equation

Abstract

The model of the X-ray transform from computed tomography can be transferred to numerous applications, for example by increasing the dimension of the problem. There are already many publications in which generalizations of this transformation are investigated. For example, instead of scalar functions, vector or tensor fields are reconstructed. In addition, there are also treatments of time-varying quantities, intensity losses due to absorption, or deviations of ray trajectories from exact straight lines. However, these phenomena have so far been discussed only individually or in pairs, not all simultaneously. In the first part of this work, a holistic model of tensor tomographic applications of any rank and dimension is developed. For this purpose, a generalized beam transformation is derived that considers absorption and refraction effects as well as temporal variability. By reformulating the integral equation into a transport equation, the adjoint problem can be derived. Through the approximation of this parabolic equation by elliptic equations, its unambiguous solvability is shown. This makes it possible to develop an efficient algorithm for the reconstruction of tensor fields, which is then applied to synthetic data generated using the model from the first part. It turns out that the modified model leads to a significant improvement in the reconstructions.

Das Modell der Röntgen-Transformation aus der Computertomographie kann auf zahlreiche Anwendungen übertragen werden, indem beispielsweise die Dimension des Problems erhöht wird. Es gibt bereits viele Veröffentlichungen, bei denen Verallgemeinerungen dieser Transformation untersucht werden. Dabei werden zum Beispiel statt skalaren Funktionen Vektor- oder Tensorfelder rekonstruiert. Hinzu kommen auch die Behandlungen von zeitlich variierenden Größen, Intensitätsverlusten durch Absorption, beziehungsweise Abweichungen der Strahlverläufe von exakten Geraden. Allerdings wurden diese Phänomene bisher nur einzeln oder paarweise diskutiert, nicht aber alle zur selben Zeit. In dieser Arbeit wird im ersten Teil ein ganzheitliches Modell tensortomographischer Anwendungen beliebigen Ranges und Dimension ausgearbeitet. Dazu wird eine verallgemeinerte Strahltransformation hergeleitet, die sowohl Absorptions- und Brechungseffekte als auch zeitliche Veränderlichkeit berücksichtigt. Durch Umformulierung der Integralgleichung zu einer Transportgleichung kann das adjungierte Problem hergeleitet werden. Für die Approximation dieser parabolischen Gleichung durch elliptische Gleichungen wird dessen eindeutige Lösbarkeit gezeigt. Dadurch ist es möglich einen effizienten Algorithmus zur Rekonstruktion von Tensorfeldern zu entwickeln. Dieser wird auf synthetische Daten angewendet, die mithilfe des Modells aus dem ersten Teil generiert werden. Es stellt sich heraus, dass das modifizierte Modell zu einer deutlichen Verbesserung der Rekonstruktionen führt.