Free probability meets topological recursion

Abstract

The subject of this thesis lies at the intersection of free probability, Hurwitz theory and topological recursion. It is based on the following collaborations: Higher order free probability vs. topological recursion: We derive functional relations for moment and cumulant generating series in higher order free probability. This solves an open problem posed about 15 years ago. We extend the combinatorics of higher order freeness and propose a new extension of free probability theory. Our results led also to new insights in topological recursion. Quantum curves and monotone Hurwitz numbers: We introduce monotone and strictly monotone Hurwitz numbers over an arbitrary base curve and derive a differential equation for their partition function, and we study the semiclassical limit of the quantum curve. Surprisingly, we recover the spectral curve for the Möbius function of higher order free probability. The latter emphasizes the relation between the two subjects and led to the breakthrough in the first part.

Das Thema dieser Arbeit ist in den Gebieten der freien Wahrscheinlichkeitstheorie, Hurwitz Theorie und topologischer Rekursion angesiedelt. Sie basiert auf den folgenden Kollaborationen: Freie Wahrscheinlichkeit in höherer Ordnung und topologische Rekursion: Wir leiten funktionale Relationen für Momenten und Kumulanten erzeugende Funktionen in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie in höheren Ordnung her. Dies löst ein seit ca. 15 Jahren offenes Problem. Wir formulieren eine Erweiterung der freien Unabhängigkeit und ihrer Kombinatorik. Unsere Resultate führen zu neuen Erkenntnissen in der topologischen Rekursion. Quantenkurven und monotone Hurwitz-Zahlen: Wir führen Hurwitz Zahlen über Kurven von höherem Geschlecht ein und leiten eine Differentialgleichung für ihre Partitionsfunktionen her und bestimmen den semiclassical limit der Quantenkurve. Überraschenderweise finden wir eine spektrale Kurve für die Möbius Funktion der freien Wahrscheinlichkeit in höherer Ordnung. Dieses Resultat bekräftigt den Zusammenhang der Gebiete und führte zu den Untersuchungen im ersten Teil.