Generalised pulse solutions for a class of quasilinear evolutionary equations with applications to water waves

Abstract

In this thesis we present a rigorous existence theory for a class of quasilinear analytic wave equations. This theory is developed by writing both wave equations as infinite-dimensional evolutionary systems via the spatial dynamics approach. Using methods from centre-manifold theory and conserved quantities of the resulting evolutionary equations, we construct a family of generalised pulse solutions on the entire real line. These generalised pulses are exponentially close to a reversible homoclinic solution to an approximate system to the given evolutionary equations. As applications we consider steady gravity water waves with vorticity and steady three-dimensional gravity capillary water waves.

In dieser Arbeit entwickeln wir eine rigorose Existenztheorie für eine Klasse quasilinearer, analytischer Wellengleichungen indem wir diese mit Hilfe räumlicher Dynamik als unendlich dimensionaler Evolultionsgleichungen formulieren. Methoden aus dem Bereich der Zentrumsmannigfaltigkeitstheorie kombiniert mit Erhaltungsgrößen der gegebenen Evolutionsgleichungen ermöglichen es uns eine Familie verallgemeinerter Pulslösungen für alle reellen Zeiten zu konstruieren. Diese Lösungen liegen für alle Zeiten exponentiell dicht an einer reversiblen homoklinen Lösung einer Approximation des gegebenen Systems. Als Anwendungen betrachten wir permanente Wasserwellen unter Schwerkraft und Vortizität sowie dreidimensionale Wasserwellen unter Schwerkraft und Oberflächenspannung.