Fast boundary element methods for the simulation of wave phenomena

Abstract

This thesis is concerned with the efficient implementation of boundary element methods (BEM) for their application in wave problems. BEM present a particularly useful tool, since they reduce the dimension of the problems by one, resulting in much fewer unknowns. However, this comes at the cost of dense system matrices, whose entries require the integration of singular kernel functions over pairs of boundary elements. Because calculating these four-dimensional integrals by cubature rules is expensive, a novel approach based on singularity cancellation and analytical integration is proposed. In this way, the dimension of the integrals is reduced and closed formulae are obtained for the most challenging cases. This allows for the accurate calculation of the matrix entries while requiring less computational work compared with conventional numerical integration. Furthermore, a new algorithm based on hierarchical low-rank approximation is presented, which compresses the dense matrices and improves the complexity of the method. The idea is to collect the matrices corresponding to different time steps in a third-order tensor and to approximate individual sub-blocks by a combination of analytic and algebraic low-rank techniques. By exploiting the low-rank structure in several ways, the method scales almost linearly in the number of spatial degrees of freedom and number of time steps. The superior performance of the new method is demonstrated in numerical examples.

Diese Arbeit befasst sich mit der effizienten Implementierung von Randelementmethoden (REM) für ihre Anwendung auf Wellenprobleme. REM stellen ein besonders nützliches Werkzeug dar, da sie die Dimension der Probleme um eins reduzieren, was zu weit weniger Unbekannten führt. Allerdings ist dies mit vollbesetzten Matrizen verbunden, deren Einträge die Integration singulärer Kernfunktionen über Paare von Randelementen erfordern. Da die Berechnung dieser vierdimensionalen Integrale durch Kubaturformeln aufwendig ist, wird ein neuer Ansatz basierend auf Regularisierung und analytischer Integration verfolgt. Auf diese Weise reduziert sich die Dimension der Integrale und es ergeben sich geschlossene Formeln für die schwierigsten Fälle. Dies ermöglicht die genaue Berechnung der Matrixeinträge mit geringerem Rechenaufwand als konventionelle numerische Integration. Außerdem wird ein neuer Algorithmus beruhend auf hierarchischer Niedrigrangapproximation präsentiert, der die Matrizen komprimiert und die Komplexität der Methode verbessert. Die Idee ist, die Matrizen der verschiedenen Zeitpunkte in einem Tensor dritter Ordnung zu sammeln und einzelne Teilblöcke durch eine Kombination von analytischen und algebraischen Niedrigrangverfahren zu approximieren. Durch Ausnutzung der Niedrigrangstruktur skaliert die Methode fast linear mit der Anzahl der räumlichen Freiheitsgrade und der Anzahl der Zeitschritte. Die überlegene Leistung der neuen Methode wird anhand numerischer Beispiele aufgezeigt.