Interactive Theorem Proving with Indexed Formulas

Abstract

Since more than two decades research in interactive theorem proving (ITP) has attracted growing interest. The primary application domains for ITPs range from hard- and software verification tools to mathematical tutor systems. To support communication with the user in an adequate way these systems depend on calculi that allow for the construction of human understandable and readable proofs. However, most calculi that are used in current ITPs fall still short of supporting the user in an optimal way. The reason is that they enforce the user to construct proofs at a level that is far more detailed than the one that can be found in human constructed proofs. Autexier [Aut03] has recently proposed a new theorem proving framework that allows to model different logics and calculi in an uniform way. In CORE, a proof-state is always represented as a single formula that can be manipulated by the application of replacement rules that are generated from the logical context of the subformula under transformation. This approach also facilitates proof construction at the assertion level which is considered as more closely matching the level at which humans construct proofs (see for instance [Hua94]). Together with COREs window inference technique this makes CORE a potentially well suited basis for interactive theorem proving. This thesis tries to excerpt COREs potential for interactive theorem proving by mapping important concepts of the established proof system ΩMEGA to CORE. A task structure is developed to present the context of a subformula in an intuitive way to the user and to assist him in structuring proofs. The development of a method interpreter makes it possible to specify abstract inference steps declaratively and to encode proof strategies for the use in CORE. The adaptation of ΩMEGAS agent-based suggestion mechanism ΩANTS to CORE helps the user with the identification of applicable methods and replacement rules.

Interaktives Theorembeweisen hat in den letzten zwei Jahrzehnten zunehmend an Bedeutung gewonnen. Die Anwendungsbereiche von Systemen mit denen sich Beweise interaktiv führen lassen reichen von der Hard- und Software Verifikation bis zu mathematischen Tutor-Systemen. Die genannten Anwendungsgebiete machen es erforderlich das der Anwender bei der Beweisführung adequat untersützt wird. Um eine entsprechende Kommunikation mit dem Benutzer zu ermöglichen verwenden interaktive Beweissysteme Kalküle, in denen Beweise in einer für den Benutzer nachvollziehbaren Art und Weise, geführt werden können. Trotzdem kann man noch nicht davon sprechen, dass interaktive Beweiser den Benutzer optimal unterstützen. Der Hauptrgund hierfür ist, dass die eingesetzten Kalküle automatisch dazu führen, dass Beweise auf einer viel detailliertern Ebene geführt werden müssen, als man typischerweise in einem mathematischen Beweis finden würde. Autexier [Aut03]hat kürzlich eine neue logische Umgebung für die Beweissuche entwickelt, welche es ermöglicht verschiedene Logiken und Kalküle einheitlich zu modellieren. In CORE ist ein Beweiszustand immer als eine einzige Formel repräsentiert, welche durch das Anwenden von Ersetzungsregeln, die aus dem Kontext einer Teilformel abgeleitet werden, transformiert werden kann. Diese Herangehensweise erleichtert es auch, Beweise auf der sogenannten Assertion-Ebene (vgl. [Hua94]) zu führen, welche allgemein als eine natürlichere Ebene für die Beweisführung angesehen wird. Zusammen mit der Window-Inferenz Technik, die von CORE unterstützt, wird stellt CORE ein System dar das potentiell als eine verbesserte Grundlage für die interaktive Beweissuche angesehen werden kann. In dieser Arbeit geht es darum, das Potential von CORE im Hinblick auf die interaktive Beweiskonstruktion auszunutzen. Dieses geschieht zum einen dadurch, dass etablierte Konzepte im Bereich des interaktiven Beweisens, wie sie auch im Beweis-System ΩMEGA verwendet werden, auf das CORE-System abgebildet werden. Desweiteren wird eine Task-Srukture entwickelt, die es zum einen ermöglicht, den logischen Kontext einer Teilformel für den Benutzer verständlich aufzubereiten und darzustellen; zum anderen untersützt sie den Anwender auch darin, Beweise strukturiert zu führen. Der Entwurf eines Methoden-Interpreters ermöglicht es, abstrakte Beweisschritte zu kodieren und im System anzuwenden. Die Anpassung des Vorschlags-Mechanismus ΩANTS an CORE stellt eine weitere Unterstützung für den Benutzer bereit, indem sie automatisch Vorschläge über mögliche Fortsetzungen eines Beweises generiert.