Entwicklung und Analyse eines Bayes-Inversion-Verfahrens zur Identifizierung der Materialparameter in viskoelastischen Strukturen

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit dem nichtlinearen inversen Problem der Identifizierung der Materialparameter in viskoelastischen Strukturen. Zur Beschreibung eines viskoelastischen Materials nutzen wir ein verallgemeinertes Maxwell-Modell. Mithilfe von Simulationen eines Relaxationsversuchs werden Spannungsdaten erzeugt, die zur Rekonstruktion der Materialparameter genutzt werden. Zwei Besonderheiten treten bei der Modellierung auf. Die Anzahl der Maxwell-Elemente und somit auch die der Materialparameter ist unbekannt. Dadurch ist die Anzahl der Materialparameter abhängig von der Lösung des inversen Problems. Diese Modellierung sorgt dafür, dass wir eine spezielle Konstruktion des Vorwärtsoperators benötigen, der auf einem kartesischen Produkt einer Halbgruppe und einem Hilbertraum in Form des Raums der natürlichen Zahlen N und des Folgenraums ℓ2(N) arbeitet. Um dieses Problem zu lösen, leiten wir uns ein Verfahren mithilfe der statistischen Inversionstheorie her, welches alternierend nach einer passenden Lösung für die Anzahl der Maxwell-Elemente und nach den Werten der Materialparameter sucht. Dies führt uns zu der Minimierung eines Tikhonov- Verfahrens mit einem speziellen Strafterm bezüglich der Anzahl der Maxwell-Elemente. Wir definieren, wie die Begrifflichkeiten der lokalen Schlechtgestelltheit und Regularisierung in diesem Setting auszusehen haben und beweisen anschließend diese Eigenschaften für unser inverses Problem. Dazu gehören auch der Beweis der Existenz, Stabilität sowie Konvergenz der regularisierten Lösung des Bayes-Verfahrens. Anschließend zeigen wir verschiedene numerische Ergebnisse des Bayes-Algorithmus. Als Vergleichsalgorithmus ziehen wir einen eigens konzipierten Cluster-Algorithmus hinzu, welcher zuvor motiviert und hergeleitet wird. Zusammenfassend besitzt diese Arbeit die folgenden Neuerungen: • Vorwärtsoperator auf dem kartesischen Produkt N × ℓ2(N), • Abhängigkeit der Anzahl der Materialparameter von einem Teil der Lösung des inversen Problems, • Bayes-Verfahren mit alternierender Minimierung zur Bestimmung der Lösung, • Beweis der Existenz, Stabilität und Konvergenz der regularisierten Lösungen des Bayes- Verfahrens.

This work deals with the nonlinear inverse problem of identifying the material parameters in viscoelastic structures. We use a generalized Maxwell model to describe a viscoelastic material. With the help of a relaxation experiment, stress data are generated which are used to reconstruct the material parameters. Two peculiarities occur in the modeling. The number of Maxwell elements is unknown and this determines the number of material parameters. Thus, the number of material parameters depends on the solution of the inverse problem. This modeling ensures that we need a special construction of the forward operator that operates on a Cartesian product of a semigroup and a Hilbert space in the form of the space of natural numbers N and the sequence space ℓ2(N). To solve this problem, we derive a procedure using statistical inversion theory, which alternately searches for a suitable solution for the number of Maxwell elements and the material parameters. This leads us to the minimization of a Tikhonov method with a special penalty term with respect to the number of Maxwell elements. We define what the concepts of local ill-posedness and regularization look like in this setting, and then prove these properties for our inverse problem. This includes the proof of existence, stability as well as convergence of the regularized solution of the Bayes method. We then show various numerical results of the Bayes algorithm. In summary, this work has the following innovations: • forward operator on the Cartesian product N × ℓ2(N), • dependence of the number of material parameters on a part of the solution of the inverse problem, • Bayes method with alternating minimization to determine the solution, • proof of existence, stability and convergence of regularized solutions of Bayes method.