Pattern formation at a fluid-ferrofluid interface

Abstract

We establish the existence of static doubly periodic patterns (in particular rolls, rectangles and hexagons) and symmetric defects (‘walls’ between two rotated roll patterns) on the free surface of a ferrofluid near onset of the Rosensweig instability, assuming a general (nonlinear) magnetisation law. To show the existence of static doubly periodic patterns, we formulate the ferrohydrostatic equations in terms of Dirichlet-Neumann operators for nonlinear elliptic boundary-value problems. We demonstrate the analyticity of these operators in suitable function spaces and solve the ferrohydrostatic problem using an analytic version of Crandall-Rabinowitz local bifurcation theory. Criteria are derived for the bifurcations to be sub-, super- or transcritical with respect to a dimensionless physical parameter. To show the existence of symmetric defects, we use a Hamiltonian version of a spatial dynamics theory for domain walls by Haragus and Iooss. We formulate the ferrohydrodynamic problem as a spatial Hamiltonian system. A centre-manifold reduction technique converts the problem for small solutions near onset to an equivalent Hamiltonian system with six degrees of freedom. We show that the reduced system has a heteroclinic connection between two periodic solutions corresponding to rotated rolls.

Wir zeigen die Existenz doppelperiodischer statischer Muster (insbesondere Rollen, Rechtecke und Hexagone) und symmetrischer Defekte (‘Wände’ zwischen zwei rotierten Rollenmustern) an der freien Oberfläche eines Ferrofluids kurz vor Eintritt der Rosensweig-Instabilität, wobei wir ein allgemeines (nichtlineares) Magnetisierungsgesetz verwenden. Um die Existenz doppelperiodischer statischer Muster zu zeigen, formulieren wir die ferro- hydrostatischen Gleichungen mit Dirichlet-Neumann-Operatoren für nichtlineare elliptische Randwertprobleme um. Wir weisen die Analytizität dieser Operatoren in geeigneten Funktionen- räumen nach und lösen das ferrohydrostatische Problem mithilfe einer analytischen Version der lokalen Bifurkationstheorie von Crandall und Rabinowitz. Wir leiten Bedingungen dafür her, dass die Bifurkation sub-, super- oder transkritisch bezüglich eines dimensionlosen physikalischen Parameters ist. Um die Existenz symmetrischer Defekte zu zeigen, nutzen wir eine Hamiltonische Version einer Theorie von räumlicher Dynamik für Domänenwände von Haragus und Iooss. Dafür formulieren wir das ferrohydrodynamische Problem als räumliches Hamiltonisches System. Mithilfe einer Zentrumsmannigfaltigkeitreduktion wandeln wir das Problem für kleine Lösungen bei Eintritt der Rosensweig Instabilität zu einem äquivalenten Hamiltonischen System mit sechs Freiheitsgraden um. Wir zeigen, dass das reduzierte System eine heterokline Verbindung zwischen zwei periodischen Lösungen besitzt, die rotierten Rollen entsprechen.