Contributions to numerical differentiation using orthogonal polynomials and its application to fault detection and parameter identification

Abstract

The reconstruction of unmeasured quantities in dynamical systems often boils down to the knowledge of derivatives of the measured system variables. This work presents a unified framework for synthesizing and analysing differentiators based on classical orthogonal poly- nomials. Existing approaches are extended, and their relations to established methods are investigated. Parameter selection guidelines are derived based on filter interpretations of the differentiators to achieve desired frequency-domain properties. The discussion of the discrete-time implementation emphasizes the preservation of the latter properties. A new tuning approach based on an optimization problem which requires only the measured signal is proposed. The differentiators are used for model-based fault detection problems in two ex- perimental case studies. First, the collision of a table tennis ball with a magnetically supported plate is discussed. Then, a model-based approach for the efficient real-time detection of faults in rolling element bearings is proposed. Finally, a parameter estimation problem is discussed. This work generalises recently proposed algorithms. The derived convergence conditions are less restrictive than the previously published ones. Two experimental case studies validate the theoretical analysis. These examples underline the great potential of these methods.

Die Rekonstruktion nicht direkt gemessener Größen läuft oft auf die Kenntnis von Ableitungen gemessener Signale hinaus. In dieser Arbeit wird ein einheitlicher Rahmen für die Synthese und Analyse von auf klassischen orthogonalen Polynomen basierenden Ableitungsschätzern diskutiert. Bestehende Ansätze werden erweitert und ihre Beziehungen zu etablierten Methoden untersucht. Auf der Grundlage von Filterinterpretationen der Ableitungsschätzer werden Empfehlungen für die Parameterauswahl hergeleitet, um gewünschte Eigenschaften im Frequenzbereich zu erreichen. Bei der Diskussion der zeitdiskreten Implementierung wird auf die Bewahrung dieser Eigenschaften eingegangen. Des Weiteren wird ein neuer Parametrierungsansatz vorgeschlagen, der auf ein Optimierungsproblems basiert und nur das gemessene Signal benötigt. Die Anwendung der Ableitungsschätzer im Rahmen regelungstechnischer Aufgaben wird mittels experimenteller Fallstudien zur modellbasierten Fehlerdiagnose demonstriert. Zunächst wird die Kollision eines Tischtennisballs mit einer mag- netisch gelagerten Platte diskutiert. Anschließend wird ein modellbasierter Ansatz für die effiziente Echtzeiterkennung von Fehlern in Wälzlagern vorgeschlagen. Schließlich werden Ansätze zur Parameterschätzung diskutiert. Diese Arbeit verallgemeinert kürzlich vorgeschlagene Algorithmen. Die hergeleiteten Konvergenzbedingungen sind weniger restriktiv als die zuvor veröffentlichten. Zwei experimentelle Fallstudien dienen der Validierung.