Functional weak limit theorem for a local empirical process of non-stationary time series and its application to von Mises-statistics

Abstract

This thesis is concerned with the asymptotics of a local empirical process of piece-wise locally stationary (PLS) time series. In this context we prove a weak limit theorem that can be seen as analogue of a result for the classical empirical process of stationary time series provided by Wu (2008). The class of PLS time series, based on the locally stationary time series model of Zhou and Wu (2009), is illustrated by means of the PLS linear process and PLS ARCH process. Moreover, we extend the continuous mapping approach for deriving the asymptotics of V-statistics of Beutner and Zähle (2014) to multi-sample V-statistics of degree d. In combination with the weak limit theorem for the local empirical process, this enables to determine the asymptotic distribution of V-statistics of degree d for non-stationary time series. We further use our extended continuous mapping approach to investigate the asymptotic distribution of the skewness of probability distributions. In addition, we develop a multivariate integration by parts formula and a Jordan decomposition for functions on R^d of locally bounded variation, which is required for the extension of the approach of Beutner and Zähle.

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Asymptotik eines lokalen empirischen Prozesses stückweise lokal stationärer (PLS) Zeitreihen. In diesem Zusammenhang beweisen wir ein schwaches Grenzwerttheorem, ein Analogon zu einem Resultat für den klassischen empirischen Prozess stationärer Zeitreihen von Wu (2008). Die Klasse der stückweise lokal stationären Zeitreihen, die auf dem lokal stationären Zeitreihenmodell von Zhou and Wu (2009) basiert, wird mittels des PLS linearen Prozesses und des PLS ARCH Prozesses veranschaulicht. Darüber hinaus erweitern wir den Continuous Mapping-Ansatz von Beutner und Zähle (2014) zur Herleitung der Asymptotik von V-Statistiken auf Mehrfachstichproben-V-Statistiken von Grad d. Kombiniert mit dem schwachen Grenzwerttheorem für den lokalen empirischen Prozess ermöglicht dies, die asymptotische Verteilung der V-Statistiken von Grad d nicht-stationärer Zeitreihen zu bestimmen. Des Weiteren wenden wir unseren erweiterten Continuous Mapping-Ansatz an, um die Asymptotik der Schiefe von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu untersuchen. Überdies wird eine multivariate partielle Integrationsformel und eine Jordanzerlegung für Funktionen auf R^d von lokal beschränkter Variation hergeleitet, die zur Erweiterung des Ansatzes von Beutner und Zähle erforderlich sind.