Gebietszerlegungsverfahren zur Diskretisierung der vektoriellen Helmholtz-Gleichung

Abstract

Die Methode der finiten Elemente (FE) ist ein weit verbreitetes Werkzeug zur Simulation elektromagnetischer Strukturen im Frequenzbereich. Der numerische Aufwand zur direkten Lösung des resultierenden Gleichungssystems steigt jedoch signifikant mit zunehmender elektrischer Größe der zugrundeliegenden Struktur, so dass der Übergang zu iterativen Lösungsstrategien unabdingbar wird. Für diese ist die Verfügbarkeit effizienter Vorkonditionierer von höchster Bedeutung. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der iterativen Lösung des aus der FE-Diskretisierung der vektoriellen Helmholtz-Gleichung resultierenden linearen Gleichungssystems. Zur Vorkonditionierung der Systemmatrix wird ein nicht-überlappendes Gebietszerlegungsverfahren unter Berücksichtigung von Kopplungsbedingungen höherer Ordnung aufgezeigt. Darüber hinaus wird anhand analytischer und numerischer Untersuchungen der Einfluss unterschiedlicher Kopplungsbedingungen auf das Konvergenzverhalten des iterativen Lösers untersucht. Die Simulation abstrahlender elektromagnetischer Strukturen mittels der FE-Methode erfordert darüber hinaus eine Beschränkung des Feldgebiets, welche beispielsweise durch die Einführung künstlicher, sogenannter absorbierender Randbedingungen geschieht. Aufbauend auf analytischen Untersuchungen zur Herleitung geeigneter Kopplungsbedingungen werden absorbierende Randbedingungen höherer Ordnung hergeleitet und im Rahmen einer FE-Diskretisierung umgesetzt. Um eine breitbandige Charakterisierung der betrachteten Strukturen zur ermöglichen, wird aufbauend auf dem Gebietszerlegungsverfahren ein Modellordnungsreduktionsverfahren vorgestellt. Insbesondere wird eine Reduktion des zeitlichen Aufwands zur Generierung des reduzierten Models mithilfe einer adaptiven Grobraumkorrektur erreicht.

The finite-element (FE) method is a commonly used tool for simulating electromagnetic structures in the frequency domain. However, the numerical effort for the direct solution of the resulting system of equations is growing significantly with increasing electrical size of the underlying structure,so that the transition to iterative solution strategies becomes indispensable. For these, the availability of efficient preconditioners is of utmost importance. The focus of this work is on the iterative solution of the system of linear equations resulting from the FE discretization of the vector Helmholtz equation. For preconditioning the system matrix a non-overlapping domain-decomposition method, under consideration of higher-order transmission conditions, is pointed out.In addition, the effects of different kinds of transmission conditions on the convergence behavior of the iterative solver are analyzed by means of analytical and numerical investigations. Moreover, the simulation of radiating electromagnetic structures by the FE method requires the field domain to be truncated, which may be done by, e.g., introducing so-called absorbing boundary conditions. Based on analytical investigations for deriving suitable transmission conditions, absorbing boundary conditions of higher order are derived and implemented in the context of a FE discretization. To enable the broadband characterization of the considered structures, a method of model-order reduction based on the domain-decomposition approach is proposed. In particular, a reduction in the time spent for generating the reduced model is obtained, by means of an adaptive coarse-space correction.