Linear scale-spaces in image processing: drift-diffusion and connections to mathematical morphology

Abstract

Auf Skalenräumen basierende Ideen sind aus dem heutigen Alltag nicht mehr wegzudenken. Wir beginnen mit einem auf der homogenen Diffusionsgleichung aufbauenden Skalenraum und verfolgen zwei Strategien zur Konstruktion neuer Skalenräume. Als erstes beweisen wir, dass der lineare Osmosefilter, welcher auf einer Drift-Diffusionsgleichung beruht, eine Reihe von wichtigen Skalenraumeigenschaften erfüllt. Der zusätzliche Driftterm ermöglicht einen großen Freiraum in der Modellierung und hat sich bereits als vielversprechend in der Bildverarbeitung etabliert. Allerdings sorgt er auch dafür, dass der stationäre Zustand nicht konstant ist, im Gegensatz zu bisher untersuchten Skalenräumen. Bei dem Beweis von Vereinfachungseigenschaften im Sinne von Lyapunov-Funktionalen führt dies zu einer Reihe von Problemen.

Während der erste Teil der Arbeit einen neuen Skalenraum einführt, werden wir uns im zweiten Teil den beiden meist studierten Klassen von Skalenräumen widmen: den linearen shift-invarianten und den morphologischen Skalenräumen. Mithilfe der neu eingeführten Cramer-Fourier-Transformation zeigen wir, wie sich beide Klassen sowohl auf struktureller Ebene als auch auf der Ebene der Evolutionsgleichungen verbinden lassen. Dieses Resultat erweitert ein Ergebnis über die strukturelle Gleichheit des Gaußschen Skalenraumes mit seinem morphologischen Gegenstück. Weiterhin beweisen wir, dass die entscheidenden Eigenschaften der bisher verwendeten Cramer-Transformation erhalten bleiben.

Scale-space ideas are ubiquitous and indispensable for modern image analysis. Starting from a linear scale-space based on a homogeneous diffusion equation we pursue two strategies to create new scale-spaces. First, we rigorously prove that the linear osmosis filtering, which is based on a drift-diffusion equation, fulfils several important scale-space properties. The additional drift term introduces a modelling choice that has proved valuable in the past for image processing applications. However, in contrast to previously analysed scale-spaces, the steady state is non-constant. This leads to a number of challenges when aiming for image simplification properties in terms of Lyapunov functionals.

Whereas we analyse a new scale-space in the first part, the second part picks up the two most studied classes of scale-spaces: linear shift-invariant and morphological scale-spaces. By introducing the Cramer-Fourier transform, we can connect these classes both on a structural level and on the level of evolution equations. This extends a structural similarity result between the Gaussian scale-space and its morphological counterpart. While the decisive properties of the previously used Cramer transform are preserved, our new transformation has many benefits in an image processing context. We use the Cramer-Fourier transform to construct not yet discovered scale-spaces.