Thermalisation and Relaxation of Quantum Systems

Abstract

Diese Studie behandelt dynamische Eigenschaften offener Quantensysteme fern vom Gleichgewicht (GG) in d Dimensionen. Der Fokus liegt auf einem speziellen exakt lösbaren Modell, dem sphärischen Modell (SM), welches einfach zu behandeln ist. Die Analyse ist von Interesse, da das kritische Verhalten im und fern vom GG nicht vom Molekularfeldtypus ist. Wir beginnen mit einem Résumé zur statistischen Mechanik von Phasenübergängen und behandeln speziell die Quantenversion des SM. Die Quantendynamik (QD) des Modells kann nicht durch phänomenologische Langevingleichungen beschrieben werden und muss mit Lindbladgleichungen (LG) formuliert werden. Zunächst untersuchen wir das dynamische Phasendiagramm eines einzelnen sphärischen Quantenspins und deuten die Lösung als Molekularfeldnäherung des N-Körperproblems. Dabei finden wir einen quantenmechanischen „Einfrieren durch Aufheizen“-Effekt. Danach erweitern wir den Formalismus auf das N-Körperproblem, wobei zuerst die Form der LG aus Konsistenzbedingungen hergeleitet wird. Das SM erlaubt dann die Reduktion auf eine einzige Integrodifferentialgleichung, deren asymptotische Lösung zeigt, dass im halbklassischen Grenzfall die effektive QD klassisch ist. Für ein tiefes Abschrecken in die geordnete Phase zeigen wir, dass die QD stark und nicht-trivial von d abhängt und stellen das dynamische Skalenverhalten und zugehörige Korrekturen dar. Mathematisches Hilfsmittel dabei sind neue Ergebnisse zur Asymptotik hypergeometrischer Funktionen in zwei Variablen.

This study deals with the dynamic properties of open quantum systems far from equilibrium in d dimensions. The focus is on a special, exactly solvable model, the spherical model (SM), which is technically simple. The analysis is of interest, since the critical behaviour in and far from equilibrium not of mean-field type. We begin with a résumé of the statistical mechanics of phase transitions and treat especially the quantum version of the SM. The quantum dynamics (QD) of the model cannot be described by phenomenological Langevin equation and must be formulated with Lindblad equations.First we examine the dynamic phase diagram of a single spherical quantum spin and interpret the solution as a mean-field approximation of the N-body problem. Hereby, we find a quantum mechanical ‘freezing by heating’ effect. After that, we extend the formalism to the N-body problem, determining first the form of the Lindblad equation from consistency conditions. The SM then allows the reduction to a single integro-differential equation whose asymptotic solution shows, that the effective QD in the semi-classical limit is fully classical. For a deep quench in the ordered phase, we show that the QD strongly and non-trivially depends on d and derive the dynamic scaling behaviour and its corrections. The mathematical tools for this analysis are new results on the asymptotic behaviour of certain confluent hypergeometric functions in two variables.

Cette thèse traite la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts couplés à un réservoir externe. Un modèle spécifique exactement soluble, le modèle sphérique, sert comme exemple paradigmatique. Ce modèle se résout exactement en toute dimension spatiale et pour des interactions très générales. Malgré sa simplicité technique, ce modèle est intéressant car ni son comportement critique d’équilibre ni celui hors équilibre est du genre champ moyen. La présentation débute avec une revue sur la mécanique statistique des transitions de phases classique et quantique, et sur les propriétés du modèle sphérique. Sa dynamique quantique ne se décrit point à l’aide d’une équation de Langevin phénoménologique. Une description plus complète à l’aide de la théorie de l’équation de Lindblad est nécessaire. Les équations de Lindblad décrivent la relaxation d’un système quantique vers son état d’équilibre. En tant que premier exemple, le diagramme de phases dynamique d’un seul spin sphérique quantique est étudié. Réinterprétant cette solution en tant qu’une approximation champ moyen d’un problème de N corps, le diagramme de phases quantique est établi et un effet « congeler en réchauffant » quantique est démontré. Ensuite, le formalisme de Lindblad est généralisé au modèle sphérique quantique de N particules: primo, la forme précise de l’équation de Lindblad est obtenue des conditions que (i) l’état quantique d’équilibre exacte est une solution stationnaire de l’équation de Lindblad et (ii) dans le limite classique, l’équation Langevin de mouvement est retrouvée. Secundo, le modèle sphérique permet la réduction exacte du problème de N particules à une seule équation intégro-différentielle pour le paramètre sphérique. Tertio, en résolvant pour le comportement asymptotique des temps longs de cette équation, nous démontrons que dans la limite semi-classique, la dynamique quantique effective redevient équivalente à une dynamique classique, à une renormalisation quantique de la température T près. Quarto, pour une trempe quantique profonde dans la phase ordonnée, nous démontrons que la dynamique quantique dépend d’une manière non triviale de la dimension spatiale. L’émergence du comportement d’échelle dynamique et des corrections logarithmiques est discutée en détail. Les outils mathématiques de cette analyse sont des nouveaux résultats sur le comportement asymptotique de certaines fonctions hypergéométriques confluentes en deux variables.