Identifikation der Verzerrungsenergiedichte hyperelastischer Materialien aus zeitabhängigen Randmessungen

Abstract

Das Thema dieser Arbeit ist die Rekonstruktion der räumlich variablen Verzerrungs- energiedichte eines hyperelastischen Materials aus zeitabhängigen Randmessungen. Dies ist auch im Zusammenhang mit der Schadensdetektion bei Strukturen aus derartigen Ma- terialien sehr interessant, da die Verzerrungsenergiedichte alle mechanischen Eigenschaften des Materials enthält. Mathematisch handelt es sich um eine Parameteridentifikation bei einem System von zeitabhängigen, nichtlinearen Differentialgleichungen und damit um ein nichtlineares, dynamisches, inverses Problem. Das finale Ziel dieser Arbeit ist es ein Verfahren auf Grundlage des Landweber-Verfahrens zu entwickeln, um dieses Problem numerisch zu lösen. Dazu wird gezeigt, dass der ent- sprechende Vorwärtsoperator Fréchet-differenzierbar ist und die Fréchet-Ableitung die eindeutige Lösung eines linearen Anfangs-Randwertproblems darstellt. Außerdem wird eine Darstellung der Adjungierten der Fréchet-Ableitung angegeben. Unter der Annahme der Darstellbarkeit der Verzerrungsenergiedichte als konische Kombination endlich vieler Funktionen eines Dictionaries ist das Aufstellen eines geeigneten, derartigen Dictionaries ebenso Bestandteil dieser Arbeit. Anschließend wird gezeigt, dass das betrachtete Identi- fikationsproblem die lokale Kegelbedingung erfüllt und somit das gedämpfte Landweber- Verfahren zur Lösung dieses Problems lokal konvergiert. Schließlich wird das entwickelte Verfahren an diversen Beispielen getestet.

The topic of this thesis is the reconstruction of the spatially variable stored energy func- tion of hyperelastic materials from time-dependent boundary measurements. In connection with the detection of damages in structures consisting of such materials this problem is re- ally interesting because all mechanical properties are hidden in the stored energy function. The mathematical model is a parameter identification for a system of time-dependent, nonlinear differential equations. That means it belongs to the class of nonlinear, dynamic, inverse problems. The major objective of this thesis is the development of an algorithm based on the damped Landweber method to solve the problem numerically. Therefore, it will be proven that the appropriate forward operator is Fréchet differentiable and that the Fréchet derivative represents the unique solution of a linear initial boundary value problem. In addition, a representation for the adjoint of the Fréchet derivative will be given. Under the assumption that we have a dictionary at hand so as to the stored energy function is given as a conic combination of the dictionary’s elements the specific choice of such functions is another emphasis of this thesis. Afterwards it will be proven that the considered identification problem fulfills the local tangential cone condition and therefore the damped Landweber method for solving the problem converges locally. Finally, the algorithm is tested with several examples.