Schnelle Randelementmethode für die Behandlung von Inhomogenitäten bei elliptischen partiellen Differentialgleichungen

Abstract

Die Randelementmethode ist ein aktueller Gegenstand der mathematischen Forschung. Sie ist ein vielseitig einsetzbares Verfahren und hat sich im Bereich der Elastizitätstheorie bewährt. Verfahren, wie hierarchische Matrizen wurden entwickelt, um Schwierigkeiten wie die Vollbesetztheit der Gleichungssysteme zu umgehen. Am Beispiel der Lamé-Gleichungen wird die Randelementmethode mit Hilfe von matrixwertigen radialen Basisfunktionen (RBF) vom Lamé-Typ erweitert, um Inhomogenitäten, sei es aufgrund von Nichtlinearitäten oder Volumenkraftdichten behandeln zu können. Für die hergeleiteten matrixwertigen RBF werden Fehler- und Stabilitätsuntersuchungen durchgeführt und neue numerische Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen entwickelt. Weiter ist es möglich, die matrixwertigen RBF auch im Kontext der hierarchischen Matrizen zu verwenden, d.h. die Matrizen besitzen eine Niedrigrangapproximation und können folglich komprimiert werden. Es zeigt sich, dass die Konvergenzordnung der Randelementmethode von diesem Ansatz nicht beeinflusst wird. Im konkreten Anwendungsfall an einem Schädigungsmodell der Elastizitätstheorie entsteht ein nicht lineares System, welches mit Hilfe eines modifizierten Steklov-Poincaré-Operators und den neu entwickelten RBF behandelt wird. Zur Lösung wird eine Fixpunktiteration verwendet und die Konvergenz an einem numerischen Beispiel nachvollzogen.

The boundary element method (BEM) is a recent subject of mathematical research and widely used for example for problems of elasticity. Methods such as hierarchical Matrices have been developed to circumvent difficulties with fully populated matrices. In this work the boundary element method for elasticity is extended by means of matrix-valued radial basis functions (RBF) of Lamé type to treat inhomogeneities due to nonlinearities or body forces. For the matrix-valued RBF of the Lamé type, error and stability estimates are presented and a new numerical method for solving the system of interpolation equations is developed. Furthermore, it is shown, that the hierarchical matrix technique is also applicable to the interpolation matrices, i.e. they have a low-rank approximation and can thus be compressed. It turns out that the convergence order of the boundary element method is not affected by this approach. As application, a nonlinear damage model is considered. The non linear system is treated numerically by a modified Steklov-Poincaré operator and the newly developed RBF.