Darstellungstheorie Drinfeld'scher Modulformen

Abstract

Drinfeld'sche Modulformen bilden im Funktionenkörperfall das Analogon zu elliptischen Modulformen über Zahlkörpern. In der vorliegenden Arbeit betrachte ich das bisher nicht untersuchte Zusammenspiel der linearen Darstellungstheorie mit der Theorie Drinfeld'scher Modulformen und beschreibe darstellungstheoretische Eigenschaften der Drinfeld'schen Modulformen zur Hauptkongruenzuntergruppe Gamma(T). Ich gebe zunächst einen Überblick über die Ausgangssituation für das Studium Drinfeld'scher Modulformen mit einem Schwerpunkt auf Modulformen für Gamma(T). Da bekannt ist, dass die Eisenstein-Reihen in dieser speziellen Situation von besonderer Bedeutung sind, beschreibe ich diese genauer und führe insbesondere die neue Klasse der sogenannten modifizierten Eisenstein-Reihen ein. Diese sind besonders gut geeignet, um algebraische Eigenschaften der Modulformen zur Stufe T zu beschreiben. Dies zeige ich am Beispiel der Konstruktion einer Basis des Raums der Spitzenformen, die mit der Filtrierung durch die Ordnung der Spitzenformen verträglich ist. Auf diese Grundlagen aufbauend widme ich mich der Untersuchung der natürlichen Operation der Gruppe G = GL(2,F_q), die als Quotient der vollen Modulgruppe GL(2,F_q[T]) nach Gamma(T) auftritt, auf der Algebra der Modulformen für Gamma(T). Die dabei benötigten Konzepte und Ergebnisse aus der modularen Darstellungstheorie werden im mittleren Teil der vorliegenden Arbeit zur Verfügung gestellt. Als Hauptergebnis identifiziere ich in der Drinfeld-Situation auftretende G-Moduln, d.h. C_infty-Vektorräume mit einer Struktur als Modul für die Gruppenalgebra C_infty[G], mit klassischen G-Moduln aus der Darstellungstheorie. Konkret zeige ich, dass die G-Moduln M_k^n der n-fachen Spitzenformen des Gewichts k (einschließlich des Falls n=0) isomorph zu Determinantentwists von symmetrischen Potenzen des natürlichen G-Moduls sind, und dass ihre sukzessiven Quotienten isomorph zu durch Charaktere der Borel-Untergruppe von G induzierten Darstellungen sind. Bei den Beweisen dieser Aussagen spielt die Arithmetik der modifizierten Eisenstein-Reihen eine entscheidende Rolle. Mit Hilfe von Ergebnissen aus der Darstellungstheorie ist es damit möglich, unter anderem die Kompositionsfaktoren der genannten Moduln Drinfeld'scher Modulformen zu bestimmen. Umgekehrt können Konzepte aus der Theorie Drinfeld'scher Modulformen auf die Darstellungstheorie symmetrischer Potenzen übertragen werden. Als Anwendungsbeispiel beschreibe ich abschließend einen Algorithmus, der die Vielfachheiten der Kompositionsfaktoren von Moduln des Typs M_k^n bestimmt.

In the function field case Drinfeld modular forms are the analogue to elliptic modular forms over number fields. In the presented thesis I examine the interaction between linear representation theory and the theory of Drinfeld modular forms. To date these concepts have not been studied in connection with each other. I describe representation theoretical properties of Drinfeld modular forms for the principal congruence subgroup Gamma(T). First I give an overview of the classical Drinfeld setting in which I focus on Drinfeld modular forms for Gamma(T). As it is known that Eisenstein series play an important role in this particular situation I describe them in further detail. In particular, I introduce the new class of so-called modified Eisenstein series, which are well suited to the description of algebraic properties of modular forms of level T. The usefulness of the modified Eisenstein series is illustrated by the construction of a basis of the space of cusp forms which is compatible with the filtration given by the order of cusp forms. In this setting I examine the natural action by the group G = GL(2,F_q) on the algebra of modular forms for Gamma(T), the group G acting naturally as the quotient of the full modular group GL(2,F_q[T]) by Gamma(T). The necessary concepts and results from the field of modular representation theory are provided in the middle section of this thesis. My main result is the identification of G-modules (meaning C_infty-vector spaces with a structure as a module for the group algebra C_infty[G]) that occur in the Drinfeld setting with classical G-modules. I show that the G-modules M_k^n of n-fold cusp forms (including the case n=0) are isomorphic to determinant twists of symmetric powers of the natural G-module. I also prove that the successive quotients of these modules are isomorphic to G-modules which are induced by characters of the Borel subgroup of G. The arithmetic of the modified Eisenstein series plays a central part in proving these statements. Applying known results from representation theory I determine, inter alia, the composition factors of the modules of Drinfeld modular forms described above. Conversely, concepts that originate on the Drinfeld side can be transferred to the representation theory of symmetric powers. As a final example of the application of my results I provide an algorithm that determines the multiplicities of the composition factors for modules of type M_k^n.