On semi-Fredholm theory and essential normality

Abstract

This thesis is devoted to the spectral theory, in particular, Fredholm theory of commuting tuples of bounded linear operators on Banach and Hilbert spaces. It is divided into four chapters dealing with different properties of the considered tuples. The first chapter treats the growth of cohomology groups of powers of commuting Fredholm tuples. In detail, we prove an upper polynomial bound for the growth and improve a known estimate for the leading coefficient of a lower polynomial bound. Chapter two considers several aspects of Arveson’s conjecture about the essential normality of homogeneous submodules and quotient modules of the Drury-Arveson space on the unit ball. We show that results of Guo and Wang, Douglas and Sarkar, Eschmeier, and others, can be extended to the case of general graded Hilbert modules, and we prove that the Arveson-Douglas essential normality conjectures are equivalent within a wide range of analytic functional Hilbert spaces. In Chapter three, we prove an essential von Neumann (in-)equality for essential spherical isometries. The last chapter is embedded in the framework of Cowen-Douglas theory. We give a characterization of Cowen-Douglas tuples over suitable open sets and study their duality theory. We end with a result about strong irreducibility of dual Cowen-Douglas tuples.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Spektraltheorie, insbesondere Fredholmtheorie von vertauschenden Tupeln stetig linearer Operatoren auf Banach- bzw. Hilberträumen. Sie besteht aus vier Teilen, in denen wir unterschiedliche Eigenschaften dieser Tupel untersuchen. Im ersten Kapitel befassen wir uns mit dem Wachstum von Kohomologiegruppen von Potenzen vertauschender Fredholmtupel. Genauer gesagt beweisen wir die Existenz einer oberen polynomiellen Schranke für deren Wachstum und verbessern eine Abschätzung für den Leitkoeffizienten einer unteren polynomiellen Abschätzung. Gegenstand des zweiten Kapitels ist Arvesons Vermutung über die wesentliche Normalität von homogenen Untermoduln und Quotientenmoduln des Drury-Arveson Raums über der Einheitskugel. Wir zeigen, dass Resultate von Guo und Wang, Douglas und Sarkar, Eschmeier und anderen richtig bleiben im allgemeineren Rahmen von graduierten Hilbertmoduln. Im dritten Kapitel beweisen wir eine wesentliche von Neumannsche (Un-)Gleichung für wesentlich sphärische Isometrien. Im letzten Kapitel geben wir eine Charakterisierung von Cowen-Douglas Tupeln über geeigneten offenen Mengen an und beschäftigen uns mit Fragen ihrer Dualitätstheorie. Schließlich untersuchen wir die starke Irreduzibilität von dualen Cowen-Douglas Tupeln.