The unirationality of Hurwitz spaces of hexagonal curves of small genus

Abstract

The main subject of this thesis is the geometry of the Hurwitz space H g,k . We give a computer-aided proof of the unirationality of H g,k in the cases k = 6 and 5 ≤ g ≤ 31 or g = 34, 35, 36, 39, 40, 45 and k = 7 and 6 ≤ g ≤ 12. We show along examples for small values of g that our approach also covers the clas-sically known cases of the unirationality of H g,k for k ≤ 5. As an immediate conclusion from our result we obtain the unirationality of the Severi variety V g,d for g ≤ 13 and d = d2/3g + 2e. We consider two applications of this result for k = 6. First we study hexagonal curves with a view towards the theory of Gorenstein ideals of codimension 4. In the cases covered by the unirationality construction we consider the general hexagonal canonical curve as subvariety of the rational normal scroll of dimension 5 which is spanned by the special linear series and show that it has the expected syzygies. In the second application we utilize the unirationality construction for the case g = 10 to prove the existence of stable Ulrich bundles of rank 3 on a general cubic hypersurface in P 4 . In this context we give a computer-aided proof of the vanishing of cohomology groups of certain extensions.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Geometrie des Hurwitzraumes H g,k . Wir geben einen computergestützten Beweis der Unirationalität von H g,k in den Fällen k = 6 und 5 ≤ g ≤ 31 oder g = 34, 35, 36, 39, 40, 45 sowie k = 7 und 6 ≤ g ≤ 12 und zeigen exemplarisch an kleinen Werten f ¨ur g, dass unser Ansatz auch die klassischen Fälle der Unirationalität von H g,k für k ≤ 5 abdeckt. Als unmittelbare Folgerung unseres Ergebnisses erhalten wir die Unirationalität der Severi-Varietät V g,d f ¨ur g ≤ 13 und d = d2/3g + 2e. Wir betrachten zwei Anwendungen des Resultates für k = 6. Zunächst untersuchen wir die hexagonalen Kurven im Hinblick auf die Theorie von Gorenstein Idealen von Kodimension 4. Wir zeigen in den durch die Konstruktion abgedeckten Fällen, dass die allgemeine hexagonale kanonische Kurve, aufgefasst als Untervarietät des 5-dimensionalen rationalen Scrolls, welcher von der speziellen Linearschar aufgespannt wird, die erwarteten Syzygien besitzt. In der zweiten Anwendung nutzen wir die Unirationalitätskonstruktion für g = 10 zum zum Nachweis der Existenz stabiler Ulrichbündel von Rang 3 auf einer allgemeinen kubischen Hyperfläche in P 4 . Weiterhin geben wir in diesem Zusammenhang einen computergestützten Beweis zur Verschwindung von Kohomologiegruppen von bestimmten Extensionen.