Unstable minimal surfaces of annulus type in manifolds

Abstract

Unstable minimal surfaces are the unstable stationary points of the Dirichlet-Integral. In order to obtain unstable solutions, the method of the gradient flow together with the minimax-principle is generally used. The application of this method for minimal surfaces in the Euclidean spacce was presented by M. Struwe in 1984. We extend this theory for obtaining unstable minimal surfaces in Riemannian manifolds. In particular, we handle minimal surfaces of annulus type, i.e. we prescribe two Jordan curves of class C^{3} in a Riemannian manifold and prove the existence of unstable minimal surfaces of annulus type bounded by these given curves. We consider two types of conditions for the target manifolds (and the curves), in which the existence and the uniqueness of the harmonic extension for a given boundary parametrization are well known. As corollaries we apply our main theorem, for instance, to the case of the three-dimensional sphere S^{3} resp. the three-dimensional hyperbolic space H^{3} with constant curvature 1 resp. -1.

Instabile Minimalflächen sind die instabilen stationären Punkten des Dirichletschen Integrals. Um instabile Lösungen zu erhalten, wird im Allgemeinen die Gradientenfluß-Methode zusammen mit dem Minimax-Prinzip verwendet. Eine Anwendung dieser Methode auf instabile Minimalflächen im Euklidischen Raum wurde im Jahr 1984 von M. Struwe präsentiert. In der vorliegenden Arbeit wird diese Theorie auf den Fall instabiler Minimalflächen in Rimannschen Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Insbesondere werden instabile Minimalflächen vom Typ des Kreisrings untersucht. Es werden zwei Jordanische Kurven von der Klasse C^{3} auf einer Rimannschen Manningfaltigkeit vorgegeben, und wir beweisen die Existenz einer instabilen Minimalfläche, die von den beiden gegebenen Kurven berandet wird. Wir betrachten zwei Typen von Bedingungen an die Zielmannigfaltigkeit (und Kurven), unter denen die Existenz und die Eindeutigkeit der harmonischen Fortsetzung für eine gegebene Parametrisierung der Randkurven bekannt sind. Als Korollare, wenden wir den Hauptsatz, z.B. auf den Fall der drei dimensionalen Kugel S^{3} bzw. des drei dimensionalen hyperbolischen Raums H^{3} an, welche konstante Krümmung 1 bzw. -1 besitzen.