Das direkte und inverse akustische Streuproblem im Rd

Abstract

In vielen Anwendungsgebieten möchte man ein Objekt auf dessen Beschaffenheit im Inneren untersuchen. Hierbei ist man bestrebt, Methoden einzusetzen, die das Objekt möglichst nicht beschädigen. In der Materialwissenschaft spricht man von zerstörungsfreiem Prüfen, im medizinischem Bereich von nicht invasiven Untersuchungen. Um solche Messungen durchführen zu können, ist man auf einen Informationsträger angewiesen, der indirekt Aufschluß über die gesuchten Größen gibt. Als Informationsträger eignen sich jegliche Art von Wellen (z.B. Ultraschall, Röntgenstrahlung und elektromagnetische Strahlung), sofern sie das zu untersuchende Objekt durchdringen können. Die mathematische Modellierung der Streuung von zeitharmonischen akustischen Wellen an Hindernissen erfolgt über die Helmholtz-Gleichung. Das Anwendungsgebiet dieser Gleichung ist nicht auf akustische Wellen beschränkt. Sie spielt auch eine wichtige Rolle bei elektromagnetischer Strahlung (siehe z.B. in [Lak06]). Unter anderem wird die Helmholtz-Gleichung auch zur Modellierung in der Seismologie, Impedanz Tomographie (vgl. [Man01] und Phasencontrasttomographie (vgl. [Jon03]) benutzt. In Verbindung mit der Sommerfeldschen Ausstrahlungsbedingung erhält man die dazugehörige Integralgleichung. In dieser Arbeit werden diese beiden Gleichungen untersucht und wichtige Eigenschaften werden aufgezeigt. Das erste Kapitel beschäftigt sich im Wesentlichen mit speziellen Funktionen und deren Eigenschaften. Insbesondere werden Kugelflächenfunktionen und Bessel-Funktionen behandelt. Die in diesem Kapitel angegebenen Sachverhalte sind speziell für die vorliegende Arbeit zusammengestellt. Dabei handelt es sich nicht nur um bereits bekannte Ergebnisse aus der Literatur. Weiterhin werden Basen bestehend aus sphärischen Wellen des L2(BR) angegeben. Die Messanordnung des für diese Arbeit relevanten Streuvorgang wird in Kapitel II schematisch dargestellt. Das zu Grunde liegende mathematischen Modell wird vorgestellt. Die physikalische Herleitung kann in [Wüb95] und [CK92] nachgelesen werden. Grundlagen für dieses Modell bilden zwei Operatoren, der Helmholtz-Operator und der Lippmann-Schwinger-Operator. Elementare Eigenschaften der Operatoren werden herausgestellt. Das dritte Kapitel beginnt mit der Einführung von Quell- und Feldorperator. Der Quelloperator bildet eine Funktion auf deren Quelle ab, wohingegen der Feldoperator einer Funktion deren Gesamtfeld zuordnet. Mit diesen Operatoren lässt sich eine allgemeine Beziehung zwischen Feldern, Quellen und der zu Grunde liegenden Objektfunktion darstellen. Eigenschaften der Operatoren werden herausgestellt. Im weiteren Verlauf dieses Kapitels wird das direkte Streuproblem behandelt. Analytische Lösungen für radialsymmetrische Objekte werden angegeben. Für beliebige Kontraste wird eine Verallgemeinerung der Riccati-Differentialgleichung (vgl. [CR97]) hergeleitet. Weitere Differentialgleichungen, die der Lösung des direkten Streuproblems dienen, werden angegeben. Das inverse Streuproblem wird in Kapitel IV unter die Lupe genommen. Mit Hilfe der Basen aus Kapitel I lässt sich zeigen, dass das Problem in zwei Teile separiert werden kann. Der erste Teil beschäftigt sich mit der Bestimmung der Quell-Anteile die senkrecht zum Nullraum des Lippmann-Schwinger-Operators stehen. Es handelt sich hierbei um ein lineares schlecht gestelltes Problem. Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung kann eine stabile Berechnung dieser Anteile erfolgen. Ausgangspunkt für diese Berechnung ist die Kenntnis des gestreuten Feldes auf dem Rand des Rekonstruktionsgebietes. Verschiedene Arbeitsgruppen auf der ganzen Welt arbeiten mit verschiedenen Datenlagen. Anstatt des gestreuten Feldes werden für die Berechnung unter anderem Fernfelddaten, Dirichtlet-zu-Neumannabbildung und die Streuamplitude verwendet. Mit Hilfe des Quell- bzw. Feldoperators können diese Begriffe verallgemeinert und ein Zusammenhang zwischen den verschiedenen Datenlagen hergestellt werden. Es zeigt sich, dass sie äquivalent sind. Im weiteren Verlauf des Kapitels wird ein Zusammenhang zwischen Quelle und Feld aufgezeigt. Anschließend wird ein Verfahren vorgestellt, dass die Nullraumanteile der Quellen bestimmen kann. Dieses Verfahren wird auf Testbeispiele angewandt. Abschließend folgen weitere Ansätze zur Bestimmung der Nullraumanteile.