Quantum simulation of superconductors on quantum computers : toward the first applications of quantum processors

Abstract

Quantum computers are the ideal platform for quantum simulations. Given enough coherent operations and qubits, such machines can be leveraged to simulate strongly correlated materials, where intricate quantum effects give rise to counter-intuitive macroscopic phenomena such as high-temperature superconductivity. Many phenomena of strongly correlated materials are encapsulated in the Fermi-Hubbard model. In general, no closed-form solution is known for lattices of more than one spatial dimension, but they can be numerically approximated using cluster methods. To model long-range effects such as order parameters, a powerful method to compute the cluster’s Green’s function consists in finding its self-energy through a variational principle. As is shown in this thesis, this allows the possibility of studying various phase transitions at finite temperature in the Fermi-Hubbard model. However, a classical cluster solver quickly hits an exponential wall in the memory (or computation time) required to store the computation variables. We show theoretically that the cluster solver can be mapped to a subroutine on a quantum computer whose quantum memory usage scales linearly with the number of orbitals in the simulated cluster and the number of measurements scales quadratically. We also provide a gate decomposition of the cluster Hamiltonian and a simple planar architecture for a quantum simulator that can also be used to simulate more general fermionic systems. We briefly analyze the Trotter-Suzuki errors and estimate the scaling properties of the algorithm for more complex applications. A quantum computer with a few tens of qubits could therefore simulate the thermodynamic properties of complex fermionic lattices inaccessible to classical supercomputers.

Quantencomputer bieten die ideale Plattform für Quantensimulationen. Eine ausreichende Anzahl an zur Verfügung stehenden kohärenten Manipulationen und Qubits vorausgesetzt, können solche Maschinen stark korrelierte Materialien simulieren, bei denen komplizierte Quanteneffekte zu unerwarteten makroskopischen Phänomenen wie beispielsweise der Hochtemperatursupraleitung führen. Viele Phänomene aus dem Bereich der stark korrelierten Systeme sind in dem Fermi-Hubbard-Modell enthalten. Zwar sind im Allgemeinen für Gitter mit mehr als einer räumlichen Dimension keine Lösungen in geschlossener Form bekannt, jedoch können diese mithilfe von Clustermethoden numerischen approximiert werden. Bei der Modellierung von langreichweitigen Effekten, wie beispielsweise der Ordnungsparameter, besteht eine sehr leistungsfähige Methode zur Berechnung der Greensfunktion des Clusters darin, die Selbstenergie mittels eines Variationsprinzips zu finden. Wie in dieser Arbeit gezeigt wird, ermöglicht dies die Untersuchung zahlreicher Phasenübergänge im Fermi-Hubbard-Modell bei endlichen Temperaturen. Klassische Lösungsverfahren kommen jedoch aufgrund des mit der Clustergröße exponentiell steigenden Bedarfs an Speicher (bzw. der zunehmenden Laufzeit) schnell an ihre Grenzen. Wir zeigen theoretisch, dass das Lösungsverfahren des Clusters auf eine Subroutine eines Quantencomputers abgebildet werden kann, sodass der gebrauchte Speicher linear und die Anzahl an Messungen quadratisch mit der Zahl der Orbitalen im simulierten Cluster skalieren. Zudem geben wir eine Zerlegung des Cluster-Hamiltonoperators in Gatters und eine zugehörige simple, planare Architektur für einen Quantensimulator an, was Anwendung bei der Simulation von gar allgemeineren fermionischen Systemen finden könnte. Für diesen Algorithmus werden die Trotter-Suzuki-Fehler und das Skalierungsverhalten bei komplexeren Anwendungen untersucht. Demnach könnte ein Quantencomputer, ausgestattet mit nur weniger als einem Dutzend Qubits, die thermodynamischen Eigenschaften eines komplexen fermionischen Gitters simulieren, was jedoch für klassische Supercomputer unerreichbar ist.