Correction formulas for the Mølmer-Sørensen gate

Abstract

The Mølmer-Sørensen gate is a common entangling quantum gate for trapped-ion platforms that has reached fidelities around 99.7 % in experiment. Those fidelities could not be fully explained theoretically. We explain in detail that the error is inherent to the construction of the Mølmer-Sørensen gate, and we show, analytically and numerically, that the errors can be partially compensated by adjusting the drive amplitude, and with pulse shaping of the drive amplitude. To calculate the fidelity of the gate, it is useful to find the time evolution operator of the system by calculation of an effective Hamiltonian using the Magnus expansion. Before calculation of the Magnus expansion, the Hamiltonian can be simplified by expanding it into a Taylor series in the Lamb-Dicke factor and cutting off higher order terms. In this case, the Magnus expansion yields as exact result the first nonvanishing order. In this work, we calculate the Magnus expansion without cutting off the Taylor series before and find that in this case additional terms appear in the Magnus expansion. Those terms can change the gate infidelity by orders of magnitudes and thus are significant contributions that should not be neglected by default. We demonstrate, how adjusting the drive amplitude can partially suppress those additional terms. Furthermore, we present the results for shaped pulses as well, showing that a smooth drive pulse, specifically sin^2, can reduce the additional errors.

Das Mølmer-Sørensen-Gatter (MSG) wird häufig zur Erzeugung von verschränkten Zuständen auf Ionenplattformen genutzt und erreicht experimentell eine Fidelität von 99.7%. Quantenmechanisch wird das MSG mit einem zeitabhängigen Hamiltonoperator (HO) für die Wechselwirkung zwischen den Ionen und ihren elektronischen Zuständen unter Einwirkung von Laserpulsen beschrieben. Daraus kann man mit der Magnusreihe einen effektiven zeitunabhängigen HO berechnen, dessen Dynamik denselben Endzustand ergibt wie der zeitabhängige HO. Um den effektiven HO berechnen zu können, wird der zeitabhängige HO in eine Taylorreihe im Lamb-Dicke-Faktor entwickelt. Ist dieser klein, werden üblicherweise die höheren Ordnungen der Taylorreihe vernachlässigt. In diesem Fall beschränkt sich der effektive HO auf die niedrigste nichtverschwindenden Ordnung der Magnusreihe, die dem HO eines verschränkenden Gatter entspricht. In dieser Arbeit wird der effektive HO berechnet, ohne zuvor Terme der Taylorreihe des zeitabhängigen HO zu vernachlässigen und aufgezeigt, dass zumindest die beiden nächsthöheren Terme der Magnusreihe bei der Bestimmung des effektiven HO berücksichtigt werden sollten. Die Ergebnisse werden analytisch hergeleitet und numerisch untermauert, womit einige Limitierungen der Fidelität des MSG erklärt werden können. Zudem demonstrieren wir, ebenfalls analytisch und numerisch, dass mithilfe einer zeitabhängigen Einhüllenden der Amplitude des Laserpulses die Fidelität deutlich verbessert werden kann.