On the geometry of p-origamis and beyond

Abstract

The main topic of this thesis is the study of a special class of translation surfaces called normal origamis. The theory of translation surfaces is an active research area with applications in various fields such as dynamical systems, algebraic geometry, and geometric group theory. Normal origamis are surfaces with a maximal symmetry group and induce normal covers of the torus T. We focus on p-origamis, where the deck transformation groups of the torus covers are p-groups, and answer the questions: Which strata contain p-origamis? Does already the deck transformation group determine the stratum? We then turn toward the study of Veech groups of certain normal origamis. These groups are the stabilizer groups of an origami under an SL(2,Z)-action. We are especially interested in the question, whether the occurring Veech groups are congruence groups. The SL(2,Z)-orbits on normal origamis are closely related to the group-theoretic concept of T_2-systems. We investigate this relationship and transfer group-theoretic results to the geometric setting. Cylinder decompositions are an important concept occurring in different contexts within this thesis. Geminal origamis exhibit special cylinder decompositions. Apisa and Wright asked whether geminal origamis are cyclic covers of the surface (2 x 2)-torus. We use methods from group theory to answer this question partially. This thesis contains results of the author's research articles [FT20] and [The21].

Im Zentrum dieser Dissertation steht das Studium normaler Origamis, einer Familie von Translationsflächen. Seit 40 Jahren sind Translationsflächen Gegenstand aktiver mathematischer Forschung mit Anwendungen in diversen mathematischen Bereichen wie algebraischer Geometrie und geometrischer Gruppentheorie. Normale Origamis haben eine maximale Symmetriegruppe und definieren normale Überlagerungen des Torus. Zunächst untersuchen wir p-Origamis, d.h. normale Origamis mit einer p-Gruppe als Decktransformationsgruppe. Wir beantworten die Fragen, welche Strata p-Origamis enthalten und ob die Decktransformationsgruppe bereits das Stratum festlegt. Des Weiteren betrachten wir Veechgruppen bestimmter normaler Origamis. Diese Gruppen sind Stabilisatoren eines Origamis unter einer SL(2,Z)-Wirkung. Unter anderem untersuchen wir die Fragen, ob und wann die Veechgruppen normaler Origamis Kongruenzgruppen sind. Zudem diskutieren wir den Zusammenhang zwischen den SL(2,Z)-Bahnen normaler Origamis und dem gruppentheoretischen Konzept der T_2-Systeme. Zylinderzerlegungen sind ein wichtiges Konzept in der Theorie der Translationsflächen, welches wir an verschiedenen Stellen in dieser Arbeit verwenden. Geminale Origamis sind Origamis mit sehr speziellen Zylinderzerlegungen. Unter gewissen Voraussetzungen beantworten wir die Frage, ob geminale Origamis den (2 x 2)-Torus zyklisch überlagern. Diese Dissertation enthält Ergebnisse aus folgenden Publikationen der Autorin [FT20] und [The21].