Simulating fermionic systems on classical and quantum computing devices

Abstract

This thesis presents a theoretical study of topics related to the simulation of quantum mechanical systems on classical and quantum computers. A large part of this work focuses on strongly interacting fermionic systems, more precisely, the behavior of electrons in presence of strong magnetic fields. We show how the energy spectrum of a Hamiltonian describing the fractional quantum Hall effect can be computed on a quantum computer and derive a closed form for the Hamiltonian coefficients in second quantization. We then discuss a mean-field method and a multi-reference state approach that allow for an efficient classical computation and an efficient initial state preparation on a quantum computer. The second part of the thesis presents a detailed description on how long-range interacting fermionic systems can be simulated on classical computers using a variational method, introduce an Ansatz which could potentially simplify numerical simulations and give an explicit quantum circuit that shows how the variational state can be used as an initial state and how it can implemented on a quantum computer. In the last part, two novel protocols are presented that generate a variety of prominent many-body operators from two-body interactions and show how these protocols improve over previous construction schemes for a number of important examples.

Diese Arbeit behandelt verschiedene zentrale Probleme theoretischer Natur, welche im Rahmen der Simulation quantenmechanischer Systeme auf klassischen und Quantencomputern auftreten. Ein Großteil dieser Arbeit beschäftigt sich mit stark wechselwirkendenden fermionischen Systemen, genauer gesagt, dem Verhalten von Elektronen innerhalb eines starken Magnetfelds. Es wird dargelegt, wie das Energiespektrum des Quanten- Hall-Effekt-Hamiltonoperators auf einem Quantencomputer berechnet werden kann, und es werden geschlossene Ausdrücke für dessen Hamilton-Koeffizienten in zweiter Quantisierung hergeleitet. Anschließend werden sowohl ein Molekularfeld- als auch ein Multi- Referenz-Ansatz diskutiert, welche eine effiziente Berechnung auf klassischen Rechnern zulassen sowie eine effiziente Implementierung auf Quantencomputern ermöglichen. Der zweite Teil dieser Arbeit erläutert, wie man langreichweitige, wechselwirkende fermionische Systeme mit Hilfe einer neuen Variationsmethode, welche über die Molekularfeldnäherung hinaus geht, auf einem klassischen Computer simulieren kann. Es wird darüber hinaus ein alternativer Ansatz vorgestellt, der Teile dieser Variationsmethode vereinfachen könnte, und gezeigt, wie sich der Ansatz auf einem Quantencomputer realisieren lässt. Im letzten Teil werden zwei neue Methoden vorgestellt, welche es ermöglichen, eine Reihe wichtiger Vielteilchen-Operatoren aus Zweiteilchen-Wechselwirkungen zu erzeugen. Beide Methoden werden durch eine Vielzahl an wichtigen Beispielen veranschaulicht.