On the rational functions in non-commutative random variables

Abstract

This thesis is devoted to some problems on non-commutative rational functions in non-commutative random variables that come from free probability theory and from random matrix theory. First, we will consider the non-commutative random variables in tracial W*-probability spaces, such as freely independent semicircular and Haar unitary random variables. A natural question on rational functions in these random variables is the well-definedness question. Namely, how large is the family of rational functions that have well-defined evaluations for a given tuple X of random variables? Note that for a fixed rational function r, the well-definedness of its evaluation r(X) depends on the interpretation of the invertibility of random variables. This is because the invertibility of a random variable in a tracial W*-probability space (or an operator in a finite von Neumann algebra) can be also considered in a larger algebra, i.e., the *-algebra of affiliated operators. One of our goals in this thesis to show some criteria that characterize the well-definedness of all rational functions in the framework of affiliated operators. In particular, one of these criteria is given by a homological-algebraic quantity on non-commutative random variables. We will also show that some notions provided by free probability are related to this quantity. So we can finally answer the well-definedness question via these related notions from free probability. Those criteria for the well-definedness of rational functions are actually intrinsic connected to the Atiyah conjecture or Atiyah property. We will explore these connections between the Atiyah property and our question on the well-definedness of rational functions. In particular, we will present a result to show a connection between the so-called strong Atiyah property and the invertibility of evaluations of rational functions. In this result, the evaluation of a rational function at a tuple of random variables may not be well-defined, but it is always invertible as an affiliated operator once it is well-defined. In the last part of this thesis, we will turn to the questions on rational functions in random matrices. Besides the well-definedness problem for rational functions in random matrices, we will also address the convergence problem for rational functions in random matrices. Due to the unstableness of the convergence in distribution, we will limit our random matrices to the ones that strongly converge in distribution and our rational functions to the ones that have bounded evaluations. We will show that both the well-defineness and the convergence problem have an affirmative answer under such conditions.

Diese Doktorarbeit widmet sich Problemen aus der freien Wahrscheinlichkeitstheorie und der Zufallsmatrizentheorie über nicht-kommutative rationale Funktionen in nichtkommutativen Zufallsvariablen. Zunächst betrachten wir nicht-kommutative Zufallsvariable in endlichen (d.h. tracial) W*-Wahrscheinlichkeitsräumen, wie z.B. freie Halbkreiselemente oder freie Haar unitäre Zufallsvariable. Eine natürliche Frage über rationale Funktionen in solchen Zufallsvariablen ist die nach der Wohldefiniertheit. Genauer gesagt, wie groß ist die Familie von rationalen Funktionen, die eine wohldefinierte Auswertung für ein gegebenes Tupel X von Zufallsvariablen haben? Man muss beachten, dass für eine feste rationale Funktion r die Wohldefiniertheit der Auswertung r(X) von der Interpretation der Invertierbarkeit von Zufallsvariablen abhängt. Dies liegt daran, dass die Invertierbarkeit einer Zufallsvariablen in einem endlichen W*-Wahrscheinlichkeitsraum (oder eines Operators in einer endlichen von Neumann Algebra) in einer gr oßeren Algebra, nämlich der *-Algebra der affiliierten Operatoren, betrachtet werden kann. Eines der Ziele dieser Doktorarbeit ist es Kriterien zu finden, welche die Wohldefiniertheit von allen rationalen Funktionen im Rahmen von affiliierten Operatoren charakterisieren. Insbesondere wird eines dieser Kriterien durch eine homologisch-algebraische Gr oße von nicht-kommutativen Zufallsvariablen gegeben sein. Wir werden auch zeigen, dass diese Gr oße mit verschiedenen Gr oßen aus der freien Wahrscheinlichkeitstheorie zusammenhängt. So werden wir schließlich die Wohldefiniertheitsfrage durch diese Gr oßen aus der freien Wahrscheinlichheitstheorie beschreiben. Diese Kriterien für die Wohldefiniertheit von rationalen Funktionen hängen inhärent mit der Atiyah Vermutung/Eigenschaft zusammen. Wir werden dieser Verbindung zwischen der Atiyah Eigenschaft und unserer Frage nach der Wohldefiniertheit von rationalen Funktionen auf den Grund gehen. Insbesondere werden wir den Zusammenhang zwischen der sogennanten starken Atiyah Eigenschaft und der Wohldefiniertheitsfrage klären. Dabei mag die Auswertung einer rationalen Funktion an einem Tupel von Zufallsvariablen nicht wohldefiniert sein, aber sofern sie wohldefiniert ist, ist sie immer invertierbar als affiliierter Operator. Im letzten Teil der Doktorarbeit wenden wir uns Fragen zu rationalen Funktionen in Zufallsmatrizen zu. Neben dem Wohldefiniertheitsproblem für rationale Funktionen in Zufallsmatrizen werden wir auch das Konvergenzproblem in dem Rahmen ansprechen. Wegen der Instabilität der Konvergenz in Verteilung schränken wir uns dabei auf Zufallsmatrizen ein, welche stark in Verteilung konvergieren, und betrachen nur rationale Funktionen, welche beschränkte Auswertungen besitzen. Wir werden zeigen, dass under solchen Voraussetzungen sowohl die Wohldefiniertheitsfrage als auch die Konvergenzfrage eine positive Antwort hat.