Perron-Frobenius theorem for multi-homogeneous mappings with applications to nonnegative tensors

Abstract

The Perron-Frobenius theorem for nonnegative matrices has been generalized to order-preserving homogeneous mappings on a cone and more recently to nonnegative tensors. We unify both approaches by introducing the concept of order-preserving multi-homogeneous mappings defined on a product of cones and their associated eigenvectors. By considering a vector valued version of the Hilbert metric, we prove several Perron-Frobenius type results for these mappings. We discuss the existence, the uniqueness and the maximality of nonnegative and positive eigenvectors of multi-homogeneous mappings. We prove a Collatz-Wielandt formula and a multi-linear Birkhoff-Hopf theorem. We study the convergence of the normalized iterates of multi-homogeneous mappings and prove convergence rates. Applications of our main results include the study of the (p,q)-singular vectors of nonnegative matrices, the p-eigenvectors, rectangular (p,q)-singular vectors and (p_1,...,p_d)-singular vectors of nonnegative tensors, the generalized DAD problem and the discrete generalized Schrödinger equation arising in multi-marginal optimal transport. We recast these problems in the multi-homogeneous framework and explain how our theorems can be used to refine, improve and offer a new point of view on previous results of the literature.

Das Perron-Frobenius Theorem für nichtnegative Matrizen wurde auf homogene, ordnungserhaltende Abbildungen auf einem Kegel erweitert und, in letzter Zeit, auf nichtnegative Tensoren. Wir vereinheitlichen beide Ansätze, indem wir das Konzept der ordnungserhaltenden, multi-homogenen Abbildungen, die auf einem Produkt von Kegeln definiert sind, sowie deren zugehörige Eigenvektoren einführen. Indem wir eine vektorisierte Version der Hilbert-Metrik in Betracht ziehen, beweisen wir für diese Abbildungen mehrere Perron-Frobenius-Typ Ergebnisse. Wir diskutieren die Existenz, die Einzigartigkeit und die Maximalität nichtnegativer und positiver Eigenvektoren multihomogener Abbildungen. Wir beweisen eine Collatz-Wielandt-Formel und einen multi-linearen Birkhoff-Hopf Satz. Wir untersuchen die Konvergenz der normierten Iterationen von multi-homogenen Abbildungen und beweisen Konvergenzraten. Anwendungen unserer Hauptergebnisse umfassen die Untersuchung der (p,q)-singulären Vektoren nichtnegativer Matrizen, der p-Eigenvektoren, rechteckiger (p,q)-singulärer Vektoren und (p_1,...,p_d)-singulärer Vektoren nichtnegativer Tensoren, das generalisierte DAD-Problem und die diskrete generalisierte Schrödinger Gleichung, die im Zusammenhang mit multi-marginalem optimalen Transport auftritt. Wir übertragen diese Probleme in den multi-homogenen Rahmen und erklären, wie unsere Theoreme verwendet werden können, um frühere Ergebnisse der Literatur zu verfeinern, zu verbessern und eine neue Sichtweise auf diese zu bieten.