Osculating cones to Brill–Noether loci for line and vector bundles on curves and relative canonical resolutions of curves

Abstract

The main subject of this thesis is the local geometry of the Brill-Noether loci W_d(C) for a smooth curve C of genus g. Studying the local structure of the singular locus W^1_d(C) of W_d(C), we give local Torelli-type theorems for curves of genus g>= 4 and g+2/2 =< d =< g-1.

As an application, we also study the local structure of Brill-Noether loci for vector bundles on curves, especially of the generalised theta divisor. It results in a new proof of the generic injectivity of the theta map for general curves of high genus.

The second minor subject of this thesis is the study of the structure of the so-called relative canonical resolution of curves on scrolls swept out by elements in W^1_d(C). We give a necessary and sufficient numerical condition for the balancedness of the bundle of quadrics for Brill-Noether general curves.

Das Hauptthema der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung der lokalen Geometrie des Brill-Noether Ortes W_d(C) von glatten Kurven C vom Geschlecht g. Das Studieren der lokalen Strukturen des singulären Ortes W^1_d(C) von W_d(C) ermöglicht es uns, lokale Torelli Sätze für Kurven vom Geschlecht g >= 4 und g+2/2 =< d =< g-1 zu beweisen.

Als eine Anwendung davon, untersuchen wir ebenfalls die lokalen Strukturen der Brill-Noether Orte von Vektorbündeln auf Kurven, insbesondere des verallgemeinerten Theta Divisors. Wir geben einen neuen Beweis der generischen Injektivität der Theta Abbildung für allgemeine Kurven von großem Geschlecht.

Des Weiteren beschäftigen wir uns mit dem Studium der auftretenden Formen der sogenannten relativen kanonischen Auflösung von Kurven auf Regelvarietäten, welche von Elementen in W^1_d(C) aufgespannt werden. Wir geben ein notwendiges und hinreichendes numerisches Kriterium an, das entscheidet, ob das Quadrikenbündel für Brill-Noether allgemeine Kurven balanciert ist.