Bitte benutzen Sie diese Referenz, um auf diese Ressource zu verweisen: doi:10.22028/D291-26600
Titel: Free probability theory: deterministic equivalents and combinatorics
Verfasser: Vargas Obieta, Carlos
Sprache: Englisch
Erscheinungsjahr: 2015
SWD-Schlagwörter: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kombinatorik
Stochastische Matrix
Freie Schlagwörter: free probability
random matrices
DDC-Sachgruppe: 510 Mathematik
Dokumentart : Dissertation
Kurzfassung: The topic of this thesis work is free probability theory. The main goal is to understand asymptotic eigenvalue distributions of large classes of random matrices. For the models discussed in [SpVa12], we obtain a quite general algorithm to plot their distributions. We also apply the tools from [BSTV14] to give a general numerical algorithm to compute the asymptotic distribution of some other types of matrix models, such as the block-linearly modified models which have been considered in [Au12,BaNe12,BaNe12b]. Classical, free and non-commutative probability can be jointly understood through the combinatorics of multiplicative functions with respect to different lattices of set partitions. The second goal of this thesis is to survey on the basic topics on the combinatorics of free probability. Our basic reference is [NiSp06]. We present new results which allow to compute cumulants of products of free and Boolean independent random variables in terms of the posets of k-divisible set partitions [ArVa12]. We also find formulas relating the different types of cumulants in non-commutative probability [AHLV14]. In connection to random matrix theory, we make particular use of the combinatorial approach to operator-valued free probability ([NSS02]) to compute Cauchy-Stieljes transforms of the asymptotic eigenvalue distributions of the matrix ensembles introduced in [SpVa12]. We do this to show that our definition of a free deterministic equivalent as a concrete operator, introduced in [SpVa12], agrees with the more widespread notion of deterministic equivalents which are being used, for example, to describe recent matrix models for wireless communications [CoDe11]. Voiculescu introduced free probability in 1985 in the context of operator algebras. In 1991, he found realizations of his free circular, semi-circular and Haar-unitary operators through limits of eigenvalue distributions of quite remarkable random matrix models, such as independent (self-adjoint and non-self-adjoint) Wigner and Haar-unitary random matrices. This allowed to understand Wigner's semicircle law as a special, single-variable case of a very general phenomenon on joint non-commutative distributions of large random matrices. In 1995 he introduced operator-valued free probability, where the limiting behaviors of much more general random matrix models can be realized. A rich class of random matrix models arises from considering a polynomial P(x_1,...,x_n) in non-commutative indeterminates x_1,...,x_n,x_1^*,...,x_n^* and evaluating it on random and deterministic matrices. In this work we are specially concerned about these kind of models. We refer to them as polynomial models''. If the inputs are (self-adjoint or non-self-adjoint) Wigner matrices, Wishart matrices, and deterministic matrices, we may consider a deterministic operator Q by evaluating P on certain operators (y_1,...,y_n) in the context of Voiculescu's free probability theory. Provided that the size of the matrices is large (but not necessarily too large), the spectral measure of the simplified model Q becomes a good approximation of the averaged eigenvalue distribution of P. The dimensions of the matrices can also be different. The free deterministic equivalent Q of P was defined in [SpVa12], based on the generalizations of [Vo91] to rectangular spaces [BG09,BG09b], and using mostly combinatorial tools from [NSS02]. The method of deterministic equivalents (DE) was introduced by Girko at the level of Cauchy-Stieltjes transforms of the considered matrix models. In contrast to DE, the simplification from P to Q can be explained very easily and does not require the polynomial to have a specific form. It will turn out that our definitions from [SpVa12] can be very effectively combined with all the elements of method described in [BMS13] for the distributions of polynomials on self-adjoint, square, asymptotically free random matrices. Throughout this work, we comment on how the different assumptions on the distributions that we input to the random matrix models affect the quality and the type of convergence of the model to its FDE. In particular, we discuss this at the combinatorial level: The different assumptions on the model determine the classes of partitions (or cumulants) that show up on the matrix sums, and hence the moments and the nature of the fixed point equations that we will get for its FDE. To be numerically efficient one needs to understand how freeness restricts and extends to different operator-valued levels. For this, the combinatorial methods from [NSS02] are quite important.
Gegenstand dieser Arbeit ist die freie Wahrscheinlichkeitstheorie. Ihr Hauptziel ist es, die asymptotische Eigenwertverteilung einer großen Klasse von Zufallsmatrizen zu verstehen. Für die in [SpVa12] diskutierten Modelle erhalten wir einen sehr allgemeinen Algorithmus zur graphischen Darstellung ihrer Verteilungen. Wir wenden auch Methoden aus [BSTV14] an, um einen allgemeinen numerischen Algorithmus zur Berechnung der asymptotischen Verteilungen anderer Typen von Matrizenmodellen formulieren zu können, wie etwa für die Block-linear modifizierten Verteilungen, die in [Au12, BaNe12, BaNe12b] betrachtet wurden. Klassische, freie und nicht-kommutative Wahrscheinlichkeitstheorie können einheitlich über die Kombinatorik multiplikativer Funktionen bezüglich verschiedener Verbände von Partitionen von Mengen verstanden werden. Das zweite Ziel dieser Arbeit ist es, eine Übersicht über einige der grundlegenden kombinatorischen Strukturen in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie zu geben. Unsere wesentliche Referenz hierfür ist [NiSp06]. Wir stellen neue Resultate vor, die die Berechnung der Kumulanten von Produkten freier und Boolesch unabhängiger Variablen mittels Posets k-teilbarer Partitionen ermöglichen [ArVa12]. Darüber hinaus geben wir Formeln an, die verschiedene Typen von Kumulanten zueinander in Verbindung setzen [AHLV14]. In Verbindung mit der Zufallsmatrizentheorie nutzen wir speziell den kombinatorischen Zugang zur operatorwertigen freien Wahrscheinlichkeitstheorie ([NSS02]), um die Cauchy-Stieltjes-Transformierten der asymptotischen Eigenwertverteilungen der in [SpVa12] eingeführten Matrizenensembles zu berechnen. Wir tun dies, um zu zeigen, dass unsere Definition eines freien deterministischen Äquivalents als konkreter Operator, wie er in [SpVa12] eingeführt wurde, mit dem weitverbreiteten Begriff des deterministischen Äquivalents übereinstimmt, wie er beispielsweise zur Beschreibung neuerer Matrizenmodelle in der drahtlosen Kommunikation verwendet wird [CoDe11]. Voiculescu begründete die freie Wahrscheinlichkeitstheorie im Jahr 1985 im Kontext von Operatoralgebren. 1991 fand er Realisierungen seiner freien Kreis-, Halbkreis- und Haar-unitären Operatoren als Grenzwerte von Eigenwertverteilungen bemerkenswerter unabhängigen Zufallsmatrizenmodelle. So ermöglichte Voiculescu das Verständnis des Wignerschen Halbkreisgesetzes als den einvariabligen Sonderfall eines wesentlich allgemeineren Phänomens bei gemeinsamen nicht-kommutativen Verteilungen großer Zufallsmatrizen. 1995 führte er die operatorwertige freie Wahrscheinlichkeitstheorie ein. Damit wurden verschiedene Zufallsmatrixmodelle auch durch Mittel der freien Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibbar. Dasselbe gilt für Produkte von Block-Halbkreis Matrizen [BSTV14] und Block-modifizierte Zufallsmatrizen [ANV], welche in dieser Arbeit kurz betrachtet werden. Viele hermiteschen Zufallsmatrixmodelle P ergeben sich durch Auswertung eines selbst-adjungierten Polynoms P(x_1,...,x_n) nicht-kommutierender Variablen x_1,...,x_n,x_1^*,...,x_n^* in zufälligen und deterministischen Matrizen. Falls die Auswertung in unabhängigen Wigner Matrizen, Wishart Matrizen, zufälligen Haar Unitären und deterministischen Matrizen erfolgt, kann man eine deterministische, operator-algebraische Vereinfachung Q von P im Rahmen der freien Wahrscheinlichkeitstheorie betrachten, um damit eine Approximation der Eigenwertverteilung von P zu erhalten. Die Dimensionen der Matrizen x_1,...,x_n dürfen dabei unterschiedlich sein. Das freie deterministische Äquivalent Q von P wurde in [SpVa12] eingeführt, basierend auf der in [BG09, BG09b] beschriebenen Verallgemeinerung von [Voi91] auf rechteckige Räume und unter hauptsächlicher Verwendung der kombinatorischen Werkzeuge aus [NSS02]. Die Methode deterministischer Äquivalente (DE) wurde von Girko auf der Ebene der Cauchy-Stieltjes-Transformierten der betrachteten Matrizenmodelle eingeführt. Im Gegensatz zu seinen deterministischen Äquivalenten kann unsere Vereinfachung Q von P sehr leicht beschrieben werden und setzt darüber hinaus auch keine spezielle Gestalt des betrachteten Polynoms voraus. Es wird sich zeigen, dass unsere Definition aus [SpVa12] sehr effektiv mit allen Elementen der in [BMS13] beschriebenen Methode zur Berechnung der Verteilung selbst-adjungierter Polynome in quadratischen, asymptotisch freien Zufallsmatrizen kombiniert werden kann. Im Verlauf dieser Arbeit werden wir anmerken, wie verschiedene Annahmen über die Verteilungen, die wir in die Zufallsmatrizenmodelle einsetzen, die Qualität und die Art der Konvergenz des Modells zu seinem freien deterministischen Äquivalent beeinflussen. Dies diskutieren wir insbesondere auf kombinatorischer Ebene. Um auch numerisch effizient zu sein, muss man verstehen, wie sich Freeness einschränkt und fortsetzt zwischen verschiedenen operator-wertigen Ebenen. Zu diesem Zweck sind die Methoden von [NSS02] besonders wichtig.
Link zu diesem Datensatz: urn:nbn:de:bsz:291-scidok-61082
hdl:20.500.11880/26656
http://dx.doi.org/10.22028/D291-26600
Erstgutachter: Speicher, Roland
Tag der mündlichen Prüfung: 4-Mai-2015
SciDok-Publikation: 8-Mai-2015
Fakultät: Fakultät 6 - Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät I
Fachrichtung: MI - Mathematik
Fakultät / Institution:MI - Fakultät für Mathematik und Informatik

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