Rekonstruktionsverfahren mit der approximativen Inversen und einer neuen Formel zur Inversion der Röntgen-Transformation

Abstract

Ziel dieser Arbeit ist ein Rekonstruktionsverfahren zur Berechnung der Faltung einer Funktion f mit einer weiteren Funktion anhand der Radon- oder Röntgen-Transformation von f. Die dabei auftretenden inversen Probleme sollen mit Hilfe der Approximativen Inversen gelöst werden. Wir beginnen mit der Theorie der Approximativen Inversen und deren Erweiterung zur Berechnung von Eigenschaften. Als Eigenschaft berechnen wir den Fredholmschen Integraloperator und untersuchen die daraus resultierende Struktur der Approximativen Inversen. Dabei behandeln wir insbesondere die Faltung als Spezialfall eines Fredholmschen Integraloperators. Als nächstes entwickeln wir Rekonstruktionsverfahren, die auf der Inversion der Radon-Transformation basieren. Dabei verfolgen wir drei unterschiedliche Ansätze: Wir geben zunächst Verfahren an, die sich direkt aus der Inversionsformel ergeben. Dann verwenden wir die Approximative Inverse, um die Inversion der Radon-Transformation zu regularisieren. Schließlich setzen wir die Approximative Inverse zur Berechnung von Eigenschaften ein, um die Faltung als Eigenschaft direkt aus der Radon-Transformation zu bestimmen. Wir zeigen, dass alle entwickelten Verfahren vom Typ gefilterte Rückprojektion sind. Anschließend leiten wir Rekonstruktionsverfahren her, die auf einer neuen Formel zur Inversion der Röntgen-Transformation beruhen. Analog zur Radon-Transformation untersuchen wir dabei drei unterschiedliche Ansätze: Wir beginnen mit Verfahren, die sich direkt aus der neuen Inversionsformel ergeben. Anschließend entwickeln wir Rekonstruktionsverfahren, die auf der Approximativen Inversen der Röntgen-Transformation basieren. Zur direkten Berechnung der Faltung aus der Röntgen-Transformation verwenden wir die Approximative Inverse zur Berechnung von Eigenschaften. Bei den entwickelten Verfahren handelt es sich stets um Rückprojektionsverfahren.

The objective of this work is the derivation of a reconstruction method for calculating the convolution of a function f with another function using the Radon transform or the X-ray transform of f. The approximate inverse is used for solving the inverse problems encountered. We start with an introduction to the theory of approximate inverse and its extension for calculating features. As a feature, we calculate the Fredholm integral operator and we study the corresponding structure of the approximate inverse. In particular we investigate the convolution as a special case of a Fredholm integral operator. Next, we develop reconstruction methods based on the inversion of the Radon transform. We investigate three different approaches: First we derive reconstruction methods which result immediately from the inversion formula. Then we apply the approximate inverse to invert the X-ray transform. Finally we use the approximate inverse for calculating features to determine the convolution directly from the Radon transform. We show that all reconstruction methods are of filtered backprojection type. Subsequently we derive reconstruction methods which make use of a new inversion formula for the X-ray transform. Analogously to the Radon transform, we investigate three different approaches: We start with reconstruction methods which follow immediately from the new inversion formula. Next, we use the approximate inverse to invert the X-ray transform. To determine the convolution directly from the X-ray transform we finally apply the approximate inverse for calculating features. All developed reconstruction methods are backprojection methods.